其中 $ \Sigma_{ij} $ 包含 $ A_{ij} $ 的非零奇异值，$ U_{ij} $、$ V_{ij} $ 为对应的奇异向量矩阵。  

 则 $ A $ 的SVD为：  

分块矩阵的奇异值分解（SVD）算法 题目描述 分块矩阵的奇异值分解（SVD）算法旨在高效计算大型矩阵的奇异值和奇异向量，尤其适用于无法一次性加载到内存的大规模矩阵。该算法将原矩阵划分为更小的子矩阵（块），通过对这些子矩阵进行局部SVD计算，并结合合并策略，逐步逼近全局SVD结果。核心问题包括：如何划分矩阵以保证精度？如何合并子矩阵的SVD结果？以及如何控制误差传播？ 解题过程 矩阵分块策略 将大型矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) 划分为 \( p \times q \) 个块矩阵 \( A_ {ij} \)，例如按行分块、列分块或棋盘式分块。 关键考虑 ：分块大小需平衡内存效率与计算精度。若块太小，合并步骤会引入过多误差；若块太大，则失去分块的优势。通常根据硬件内存限制确定块尺寸。 局部SVD计算 对每个子矩阵 \( A_ {ij} \) 计算其精简SVD： \[ A_ {ij} = U_ {ij} \Sigma_ {ij} V_ {ij}^T, \] 其中 \( \Sigma_ {ij} \) 包含 \( A_ {ij} \) 的非零奇异值，\( U_ {ij} \)、\( V_ {ij} \) 为对应的奇异向量矩阵。 优化 ：仅保留前 \( k \) 个奇异值及向量（截断SVD），以减少后续计算量。阈值根据奇异值衰减率设定。 子矩阵SVD的合并 以行分块为例 ：假设 \( A = \begin{bmatrix} A_ 1 \\ A_ 2 \end{bmatrix} \)，其中 \( A_ 1 \)、\( A_ 2 \) 为行分块矩阵。先计算各块的SVD： \[ A_ 1 = U_ 1 \Sigma_ 1 V_ 1^T, \quad A_ 2 = U_ 2 \Sigma_ 2 V_ 2^T. \] 将 \( A \) 重写为： \[ A = \begin{bmatrix} U_ 1 \Sigma_ 1 V_ 1^T \\ U_ 2 \Sigma_ 2 V_ 2^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U_ 1 & 0 \\ 0 & U_ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Sigma_ 1 V_ 1^T \\ \Sigma_ 2 V_ 2^T \end{bmatrix}. \] 对矩阵 \( B = \begin{bmatrix} \Sigma_ 1 V_ 1^T \\ \Sigma_ 2 V_ 2^T \end{bmatrix} \) 计算SVD： \[ B = U_ B \Sigma V^T, \] 则 \( A \) 的SVD为： \[ A = \begin{bmatrix} U_ 1 & 0 \\ 0 & U_ 2 \end{bmatrix} U_ B \Sigma V^T. \] 关键步骤 ：合并时需对 \( B \) 进行正交化，以消除子块间的冗余信息。 误差控制与迭代优化 由于局部截断和合并误差，一次分块SVD可能不足。可采用迭代 refinement： 用当前SVD结果 \( A \approx U^{(t)} \Sigma^{(t)} (V^{(t)})^T \) 构造残差矩阵 \( R = A - U^{(t)} \Sigma^{(t)} (V^{(t)})^T \)。 对 \( R \) 分块并计算SVD，将结果合并到当前解中。 终止条件：当残差范数小于阈值或奇异值变化可忽略时停止。 算法扩展与并行化 棋盘式分块允许并行计算各子矩阵的SVD，再用树状结构合并结果（类似MapReduce）。 对于分布式计算，常用通信高效的算法（如QR合并代替SVD合并）以减少数据传输。 总结 分块矩阵SVD通过“分治-合并”策略将大规模问题分解为小规模子问题，显著降低内存需求。其精度依赖于分块策略、合并方法及迭代优化，适用于大数据场景（如推荐系统、图像处理）。