高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析
字数 1498 2025-11-05 23:45:42

高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析

题目描述
高斯-切比雪夫求积公式是处理形如 \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 的带权积分的数值方法，其权函数为 \(w(x) = (1-x^2)^{-1/2}\)。本题要求分析该公式的权函数与第一类切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的正交性关系，并解释为何该公式的节点是切比雪夫多项式的零点，权重为常数 \(\pi/n\)。

解题过程

  1. 理解权函数与正交多项式的基本关系
    • 对于区间 \([-1,1]\) 上的权函数 \(w(x)\)，若存在多项式序列 \(\{\phi_n(x)\}\) 满足：

\[ \int_{-1}^{1} w(x) \phi_m(x) \phi_n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n) \]

 则称 $ \{\phi_n(x)\} $ 关于权函数 $ w(x) $ 正交。
  • 切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 在权函数 \(w(x) = (1-x^2)^{-1/2}\) 下满足正交性：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi/2 & m = n \neq 0 \\ \pi & m = n = 0 \end{cases} \]

  1. 高斯求积公式的节点与权重性质
    • 高斯型求积公式的节点是正交多项式 \(\phi_n(x)\) 的零点，权重由积分 \(\int_{-1}^{1} w(x) L_k(x) \, dx\) 决定（\(L_k(x)\) 为拉格朗日基多项式）。
    • 对于切比雪夫权函数，正交多项式为 \(T_n(x)\)，其零点为：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \]

  1. 计算权重并证明其为常数
    • 通过拉格朗日插值推导权重公式：

\[ w_k = \int_{-1}^{1} \frac{w(x) \ell_k(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

 其中 $ \ell_k(x) $ 为以切比雪夫节点构造的拉格朗日基函数。
  • 利用切比雪夫多项式的性质：\(\ell_k(x) = \frac{T_n(x)}{T_n'(x_k)(x-x_k)}\)，代入积分并简化后可得：

\[ w_k = \frac{\pi}{n} \quad (\text{与 } k \text{ 无关}) \]

 这是因为切比雪夫节点的对称性和权函数的周期性导致所有权重相等。
  1. 正交性与求积公式精度的关联
    • 高斯求积公式对次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式精确成立，源于正交多项式的零点作为节点时，插值余项与正交多项式成正比，从而在加权积分下误差为零。
    • 对于切比雪夫权函数，公式可精确积分所有次数 \(\leq 2n-1\) 的多项式与 \(\sqrt{1-x^2}\) 的乘积形式。

总结
高斯-切比雪夫公式的权函数与切比雪夫多项式的正交性直接决定了其节点和权重的简洁形式：节点是 \(T_n(x)\) 的零点，权重恒为 \(\pi/n\)。这一关系体现了正交多项式理论在数值积分中的核心作用。

高斯-切比雪夫求积公式的权函数与正交多项式关系分析 题目描述 高斯-切比雪夫求积公式是处理形如 \( \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 的带权积分的数值方法，其权函数为 \( w(x) = (1-x^2)^{-1/2} \)。本题要求分析该公式的权函数与第一类切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的正交性关系，并解释为何该公式的节点是切比雪夫多项式的零点，权重为常数 \( \pi/n \)。 解题过程 理解权函数与正交多项式的基本关系 对于区间 \([ -1,1]\) 上的权函数 \( w(x) \)，若存在多项式序列 \( \{\phi_ n(x)\} \) 满足： \[ \int_ {-1}^{1} w(x) \phi_ m(x) \phi_ n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n) \] 则称 \( \{\phi_ n(x)\} \) 关于权函数 \( w(x) \) 正交。 切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 在权函数 \( w(x) = (1-x^2)^{-1/2} \) 下满足正交性： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi/2 & m = n \neq 0 \\ \pi & m = n = 0 \end{cases} \] 高斯求积公式的节点与权重性质 高斯型求积公式的节点是正交多项式 \( \phi_ n(x) \) 的零点，权重由积分 \( \int_ {-1}^{1} w(x) L_ k(x) \, dx \) 决定（\( L_ k(x) \) 为拉格朗日基多项式）。 对于切比雪夫权函数，正交多项式为 \( T_ n(x) \)，其零点为： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k=1,2,\dots,n \] 计算权重并证明其为常数 通过拉格朗日插值推导权重公式： \[ w_ k = \int_ {-1}^{1} \frac{w(x) \ell_ k(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中 \( \ell_ k(x) \) 为以切比雪夫节点构造的拉格朗日基函数。 利用切比雪夫多项式的性质：\( \ell_ k(x) = \frac{T_ n(x)}{T_ n'(x_ k)(x-x_ k)} \)，代入积分并简化后可得： \[ w_ k = \frac{\pi}{n} \quad (\text{与 } k \text{ 无关}) \] 这是因为切比雪夫节点的对称性和权函数的周期性导致所有权重相等。 正交性与求积公式精度的关联 高斯求积公式对次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式精确成立，源于正交多项式的零点作为节点时，插值余项与正交多项式成正比，从而在加权积分下误差为零。 对于切比雪夫权函数，公式可精确积分所有次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式与 \( \sqrt{1-x^2} \) 的乘积形式。 总结 高斯-切比雪夫公式的权函数与切比雪夫多项式的正交性直接决定了其节点和权重的简洁形式：节点是 \( T_ n(x) \) 的零点，权重恒为 \( \pi/n \)。这一关系体现了正交多项式理论在数值积分中的核心作用。