排序算法之：比较计数排序（Comparison Counting Sort）的进阶应用：稳定排序与空间优化

题目描述
比较计数排序是一种非基于比较的排序思想衍生算法，它通过统计每个元素在最终排序序列中的确定位置来实现排序。给定一个包含n个元素的数组arr（元素可能重复），要求使用比较计数排序算法对数组进行升序排序，并确保排序的稳定性（即相等元素的相对顺序不变）。同时，探讨如何优化算法的空间复杂度。

解题过程

1. 基本思想
   比较计数排序的核心是为每个元素统计“小于它的元素个数”，从而确定其排序后的位置。例如，如果一个元素有k个元素小于它，那么它在排序数组中应该位于第k+1个位置（从0开始索引则为位置k）。

2. 基础算法步骤

   • 初始化一个计数数组count，长度与输入数组arr相同，初始值全为0。
   • 对于每个索引i（0 ≤ i < n），遍历所有索引j（0 ≤ j < n），如果arr[j] < arr[i]，则count[i]++。注意这里使用严格小于<，避免相等元素干扰。
   • 根据count数组构造排序结果：创建一个结果数组result，对于每个元素arr[i]，将其放置在result[count[i]]位置。

3. 稳定性处理
   基础算法在遇到相等元素时，count[i]可能相同，导致相等元素在结果数组中的顺序不确定。为了确保稳定性，需要调整计数规则：

   • 修改比较条件：对于每个i，统计“小于或等于arr[i]的元素个数”，但仅对j < i的情况进行统计。这样，相等元素中索引较小的会获得较小的计数。
   • 具体步骤：
     a. 遍历i从0到n-1：
     • 初始化count[i] = 0
     • 遍历j从0到i-1：
       • 如果arr[j] <= arr[i]，则count[i]++
       • 否则（即arr[j] > arr[i]），则count[j]++（因为arr[j]大于arr[i]，说明arr[j]的最终位置应比当前计数多一个更小的元素）
         b. 但上述方法需要动态调整，实现复杂。更直接的方法是：首先统计“严格小于”每个元素的个数，然后对相等元素进行顺序调整。
     • 实际中，更简单的稳定化方法：在构造结果数组时，对于具有相同count[i]值的元素，按照原始顺序依次放置。可以通过二次遍历或使用辅助索引实现。

4. 空间优化策略
   基础算法需要count数组（长度n）和result数组（长度n），空间复杂度O(n)。优化方向：

   • 原地排序：尝试在不使用额外结果数组的情况下，通过元素交换完成排序。但比较计数排序的本质依赖于计数信息，完全原地排序较难。
   • 减少额外空间：可以复用arr数组作为结果数组，但需要临时备份原数组，空间仍为O(n)。
   • 优化计数存储：如果元素范围已知且较小，可结合桶排序思想，但本题不假设元素范围。

5. 算法实现示例（稳定版本）

   def comparison_counting_sort_stable(arr):
       n = len(arr)
       count = [0] * n  # 存储小于arr[i]的元素个数
   
       # 第一遍：统计严格小于arr[i]的元素个数
       for i in range(n):
           for j in range(n):
               if arr[j] < arr[i]:
                   count[i] += 1
   
       # 第二遍：处理相等元素，确保稳定性
       # 对于相等元素，按原始顺序分配位置
       result = [None] * n
       for i in range(n):
           pos = count[i]
           # 如果该位置已被占用，向后查找第一个空位
           while result[pos] is not None:
               pos += 1
           result[pos] = arr[i]
   
       return result
   

6. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(n²)（两重循环）。
   • 空间复杂度：O(n)（计数数组和结果数组）。

总结
比较计数排序通过精确统计元素位置实现排序，稳定化需处理相等元素的顺序。虽然时间复杂度较高，但它在小规模数据或特定约束下有一定应用价值。空间优化可通过原地交换或计数压缩进一步探索，但通常以增加时间复杂度为代价。