其中 $ t_k, w_k $ 为 $[-1, 1]$ 上的标准高斯-勒让德节点和权重。

高斯-勒让德求积公式在带峰值函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 内存在一个狭窄的峰值（例如高斯型函数 \( e^{-100(x-0.5)^2} \)）。若直接使用高斯-勒让德求积公式，需大量节点才能捕捉峰值特征。要求通过变量替换技巧，将峰值区域“拉伸”，使原积分变换为在新变量下更平滑的积分，从而用较少节点实现高精度计算。 解题过程 问题分析 峰值函数在窄区间内变化剧烈，外部平缓。高斯-勒让德公式在均匀节点分布下，若节点数不足，会忽略峰值细节，导致误差较大。 目标：通过变量替换 \( x = g(t) \)，将原积分变换为 \( I = \int_ {-1}^{1} f(g(t)) g'(t) \, dt \)，使新被积函数 \( F(t) = f(g(t)) g'(t) \) 在 \([ -1, 1 ]\) 上变化更平缓。 变量替换设计 设峰值位于 \( x = c \)，宽度由参数 \( \alpha \) 控制（如 \( f(x) = e^{-\alpha (x-c)^2} \)）。 选择替换函数 \( x = g(t) = c + \frac{1}{\alpha} \arctan(\beta t) \)，其中 \( \beta \) 为缩放因子。此函数将 \( t \in [ -1, 1] \) 映射到 \( x \in [ c - \frac{\arctan \beta}{\alpha}, c + \frac{\arctan \beta}{\alpha} ] \)，峰值区域被拉伸。 导数 \( g'(t) = \frac{\beta}{\alpha (1 + (\beta t)^2)} \)，用于调整积分权重。 替换后的积分形式 原积分变为： \[ I = \int_ {-1}^{1} f\left(c + \frac{\arctan(\beta t)}{\alpha}\right) \cdot \frac{\beta}{\alpha (1 + (\beta t)^2)} \, dt. \] 例如，若 \( f(x) = e^{-\alpha (x-c)^2} \)，则新被积函数为： \[ F(t) = e^{-\alpha \left(\frac{\arctan(\beta t)}{\alpha}\right)^2} \cdot \frac{\beta}{\alpha (1 + (\beta t)^2)} = e^{-\frac{(\arctan(\beta t))^2}{\alpha}} \cdot \frac{\beta}{\alpha (1 + (\beta t)^2)}. \] 当 \( \alpha \) 很大时，原函数峰值窄，但 \( F(t) \) 的指数部分和分母共同作用，使其在 \( t \) 域更平滑。 参数选择与数值实现 缩放因子 \( \beta \) 需满足：替换后区间应覆盖峰值有效范围（如 \( \beta \) 使 \( \arctan(\beta) \approx 2 \) 以覆盖主要峰值）。 使用 \( n \) 点高斯-勒让德公式计算新积分： \[ I \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k F(t_ k) = \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(g(t_ k)) g'(t_ k), \] 其中 \( t_ k, w_ k \) 为 \([ -1, 1 ]\) 上的标准高斯-勒让德节点和权重。 误差控制与优势 对比直接应用高斯-勒让德公式：变量替换后，峰值区域被扩展，节点分布更有效，通常用较少节点（如 \( n=10 \)）即可达到高精度。 若峰值位置 \( c \) 靠近边界，可结合线性变换将原积分区间先映射到 \([ -1, 1 ]\)，再应用此技巧。 总结 ：通过针对峰值特征的变量替换，将原函数的剧烈变化“平滑化”，充分发挥高斯-勒让德公式在多项式逼近上的优势，显著提升计算效率。