深度学习中优化器的Nadam算法原理与实现细节

Nadam（Nesterov-accelerated Adaptive Moment Estimation）是结合了Nesterov动量和Adam优化器优势的算法。下面我将详细讲解其原理和实现步骤。

题目描述

Nadam算法旨在解决Adam优化器在收敛后期可能出现的振荡问题，同时加速训练过程。它通过引入Nesterov动量项来修正Adam的动量更新步骤，使优化方向更准确。

解题过程

1. 算法基础回顾

• Adam原理：结合动量（一阶矩估计）和自适应学习率（二阶矩估计），更新公式为：

\[ m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t \\ v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2 \\ \hat{m}_t = m_t / (1 - \beta_1^t) \\ \hat{v}_t = v_t / (1 - \beta_2^t) \\ \theta_t = \theta_{t-1} - \alpha \cdot \hat{m}_t / (\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon) \]

其中 \(g_t\) 是当前梯度，\(\beta_1, \beta_2\) 是衰减率，\(\alpha\) 是学习率。

• Nesterov动量：先根据累积动量方向"预览"下一步参数位置，再计算梯度，使更新更前瞻。

2. Nadam的核心思想

Nadam将Adam的动量项 \(m_t\) 替换为Nesterov动量形式。具体来说：

• 标准Adam使用当前梯度 \(g_t\) 更新动量 \(m_t\)。
• Nadam改为使用"未来位置"的梯度近似（即先应用动量再计算梯度），公式调整为：

\[ m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t \\ \hat{m}_t = \frac{\beta_1 m_t}{1 - \beta_1^{t+1}} + \frac{(1 - \beta_1) g_t}{1 - \beta_1^t} \]

这里 \(\hat{m}_t\) 融合了当前动量 \(m_t\) 和梯度 \(g_t\) 的加权平均，模拟Nesterov的"预览"效果。

3. 数学推导步骤

• 步骤1：计算梯度 \(g_t = \nabla f(\theta_{t-1})\)。
• 步骤2：更新一阶矩估计（动量）：

\[ m_t = \beta_1 m_{t-1} + (1 - \beta_1) g_t \]

• 步骤3：更新二阶矩估计（自适应学习率）：

\[ v_t = \beta_2 v_{t-1} + (1 - \beta_2) g_t^2 \]

• 步骤4：偏差校正（因初始时刻估计偏向0）：

\[ \hat{m}_t = \frac{m_t}{1 - \beta_1^t}, \quad \hat{v}_t = \frac{v_t}{1 - \beta_2^t} \]

• 步骤5：引入Nesterov修正。将标准Adam的 \(\hat{m}_t\) 替换为：

\[ \hat{m}_t^{\text{Nadam}} = \beta_1 \hat{m}_t + \frac{(1 - \beta_1) g_t}{1 - \beta_1^t} \]

其中 \(\hat{m}_t\) 是当前动量校正值，附加项 \(\frac{(1 - \beta_1) g_t}{1 - \beta_1^t}\) 直接注入当前梯度信息。

• 步骤6：参数更新：

\[ \theta_t = \theta_{t-1} - \alpha \cdot \frac{\hat{m}_t^{\text{Nadam}}}{\sqrt{\hat{v}_t} + \epsilon} \]

4. 实现细节

• 超参数设置：推荐 \(\beta_1=0.9, \beta_2=0.999, \epsilon=10^{-8}\)，学习率 \(\alpha\) 需根据任务调整（通常略小于Adam的学习率）。
• 代码示例（PyTorch风格）：

  def nadam(params, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999, eps=1e-8):
      m = [torch.zeros_like(p) for p in params]  # 一阶矩
      v = [torch.zeros_like(p) for p in params]  # 二阶矩
      t = 0
      while True:
          t += 1
          with torch.no_grad():
              for p, m_i, v_i in zip(params, m, v):
                  g = p.grad
                  # 更新矩估计
                  m_i = beta1 * m_i + (1 - beta1) * g
                  v_i = beta2 * v_i + (1 - beta2) * g**2
                  # 偏差校正
                  m_hat = m_i / (1 - beta1**t)
                  v_hat = v_i / (1 - beta2**t)
                  # Nesterov修正项
                  m_nadam = beta1 * m_hat + (1 - beta1) * g / (1 - beta1**t)
                  # 更新参数
                  p -= lr * m_nadam / (v_hat.sqrt() + eps)
  

5. 优势分析

• 收敛速度：比Adam更快，尤其在初始训练阶段。
• 稳定性：Nesterov动量减少振荡，适合处理病态曲率问题（如RNN训练）。
• 适应性：保留Adam对稀疏梯度的适应能力。

总结

Nadam通过将Nesterov动量嵌入Adam框架，实现了更稳健的收敛性能。关键改进在于动量项的修正，使优化器能"预见"梯度方向，减少超调。实际应用中，需注意学习率调优以避免初期不稳定。