隐马尔可夫模型（HMM）的Baum-Welch算法原理与参数估计过程

字数 2133 2025-11-05 23:45:42

隐马尔可夫模型（HMM）的Baum-Welch算法原理与参数估计过程

题目描述

隐马尔可夫模型（HMM）是一种用于建模时序数据的统计模型，包含隐藏状态序列和观测序列。Baum-Welch算法是HMM的无监督学习算法，通过观测数据估计模型参数（初始状态概率、状态转移概率、观测概率）。其核心思想是利用期望最大化（EM）算法，迭代优化参数直至收敛。

解题过程

1. HMM基本定义

HMM由以下参数组成：

隐藏状态集合 \(Q = \{q_1, q_2, ..., q_N\}\)（如天气：晴、雨）。
观测集合 \(V = \{v_1, v_2, ..., v_M\}\)（如活动：散步、购物）。
初始状态概率 \(\pi = [\pi_i]\)，其中 \(\pi_i = P(z_1 = q_i)\)。
状态转移矩阵 \(A = [a_{ij}]\)，其中 \(a_{ij} = P(z_{t+1} = q_j \mid z_t = q_i)\)。
观测概率矩阵 \(B = [b_j(k)]\)，其中 \(b_j(k) = P(o_t = v_k \mid z_t = q_j)\)。

目标：给定观测序列 \(O = (o_1, o_2, ..., o_T)\)，估计参数 \(\lambda = (\pi, A, B)\)。

2. Baum-Welch算法的EM框架

Baum-Welch是EM算法的特例，分两步迭代：

E步：计算隐藏状态的期望统计量（基于当前参数）。
M步：更新参数以最大化期望似然。

3. E步：计算前向概率与后向概率

前向概率 \(\alpha_t(i) = P(o_1, o_2, ..., o_t, z_t = q_i \mid \lambda)\)：

初始化：\(\alpha_1(i) = \pi_i b_i(o_1)\)。
递推：

\[ \alpha_{t+1}(j) = \left[ \sum_{i=1}^N \alpha_t(i) a_{ij} \right] b_j(o_{t+1}), \quad t=1,2,...,T-1. \]

后向概率 \(\beta_t(i) = P(o_{t+1}, o_{t+2}, ..., o_T \mid z_t = q_i, \lambda)\)：

初始化：\(\beta_T(i) = 1\)（约定条件）。
递推：

\[ \beta_t(i) = \sum_{j=1}^N a_{ij} b_j(o_{t+1}) \beta_{t+1}(j), \quad t=T-1,...,1. \]

4. E步：计算关键统计量

状态概率 \(\gamma_t(i) = P(z_t = q_i \mid O, \lambda)\)：

\[\gamma_t(i) = \frac{\alpha_t(i) \beta_t(i)}{\sum_{j=1}^N \alpha_t(j) \beta_t(j)}. \]

状态转移概率 \(\xi_t(i,j) = P(z_t = q_i, z_{t+1} = q_j \mid O, \lambda)\)：

\[\xi_t(i,j) = \frac{\alpha_t(i) a_{ij} b_j(o_{t+1}) \beta_{t+1}(j)}{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \alpha_t(i) a_{ij} b_j(o_{t+1}) \beta_{t+1}(j)}. \]

5. M步：更新参数

利用统计量的期望值更新参数：

初始概率：

\[ \pi_i^{\text{new}} = \gamma_1(i). \]

转移概率：

\[ a_{ij}^{\text{new}} = \frac{\sum_{t=1}^{T-1} \xi_t(i,j)}{\sum_{t=1}^{T-1} \gamma_t(i)}. \]

观测概率（离散观测）：

\[ b_j(k)^{\text{new}} = \frac{\sum_{t=1}^T \gamma_t(j) \cdot \mathbf{1}[o_t = v_k]}{\sum_{t=1}^T \gamma_t(j)}. \]

6. 迭代与收敛

重复E步和M步，直到参数变化小于阈值或似然函数收敛。最终得到最优参数 \(\lambda^*\)。

关键点总结

Baum-Welch通过EM算法避免直接求解复杂的极大似然问题。
前向-后向算法高效计算边缘概率，是E步的核心。
参数更新公式直观反映了“计数”的期望值（如转移次数、观测频次）。
适用于离散或连续观测（需调整 \(B\) 的分布形式）。

通过以上步骤，即使仅观测到活动序列，也能推断出天气变化的规律（隐藏状态参数）。

隐马尔可夫模型（HMM）的Baum-Welch算法原理与参数估计过程题目描述隐马尔可夫模型（HMM）是一种用于建模时序数据的统计模型，包含隐藏状态序列和观测序列。Baum-Welch算法是HMM的无监督学习算法，通过观测数据估计模型参数（初始状态概率、状态转移概率、观测概率）。其核心思想是利用期望最大化（EM）算法，迭代优化参数直至收敛。解题过程 1. HMM基本定义 HMM由以下参数组成：隐藏状态集合 \( Q = \{q_ 1, q_ 2, ..., q_ N\} \)（如天气：晴、雨）。观测集合 \( V = \{v_ 1, v_ 2, ..., v_ M\} \)（如活动：散步、购物）。初始状态概率 \( \pi = [ \pi_ i] \)，其中 \( \pi_ i = P(z_ 1 = q_ i) \)。状态转移矩阵 \( A = [ a_ {ij}] \)，其中 \( a_ {ij} = P(z_ {t+1} = q_ j \mid z_ t = q_ i) \)。观测概率矩阵 \( B = [ b_ j(k)] \)，其中 \( b_ j(k) = P(o_ t = v_ k \mid z_ t = q_ j) \)。目标：给定观测序列 \( O = (o_ 1, o_ 2, ..., o_ T) \)，估计参数 \( \lambda = (\pi, A, B) \)。 2. Baum-Welch算法的EM框架 Baum-Welch是EM算法的特例，分两步迭代： E步：计算隐藏状态的期望统计量（基于当前参数）。 M步：更新参数以最大化期望似然。 3. E步：计算前向概率与后向概率前向概率 \( \alpha_ t(i) = P(o_ 1, o_ 2, ..., o_ t, z_ t = q_ i \mid \lambda) \)：初始化：\( \alpha_ 1(i) = \pi_ i b_ i(o_ 1) \)。递推： \[ \alpha_ {t+1}(j) = \left[ \sum_ {i=1}^N \alpha_ t(i) a_ {ij} \right] b_ j(o_ {t+1}), \quad t=1,2,...,T-1. \] 后向概率 \( \beta_ t(i) = P(o_ {t+1}, o_ {t+2}, ..., o_ T \mid z_ t = q_ i, \lambda) \)：初始化：\( \beta_ T(i) = 1 \)（约定条件）。递推： \[ \beta_ t(i) = \sum_ {j=1}^N a_ {ij} b_ j(o_ {t+1}) \beta_ {t+1}(j), \quad t=T-1,...,1. \] 4. E步：计算关键统计量状态概率 \( \gamma_ t(i) = P(z_ t = q_ i \mid O, \lambda) \)： \[ \gamma_ t(i) = \frac{\alpha_ t(i) \beta_ t(i)}{\sum_ {j=1}^N \alpha_ t(j) \beta_ t(j)}. \] 状态转移概率 \( \xi_ t(i,j) = P(z_ t = q_ i, z_ {t+1} = q_ j \mid O, \lambda) \)： \[ \xi_ t(i,j) = \frac{\alpha_ t(i) a_ {ij} b_ j(o_ {t+1}) \beta_ {t+1}(j)}{\sum_ {i=1}^N \sum_ {j=1}^N \alpha_ t(i) a_ {ij} b_ j(o_ {t+1}) \beta_ {t+1}(j)}. \] 5. M步：更新参数利用统计量的期望值更新参数：初始概率： \[ \pi_ i^{\text{new}} = \gamma_ 1(i). \] 转移概率： \[ a_ {ij}^{\text{new}} = \frac{\sum_ {t=1}^{T-1} \xi_ t(i,j)}{\sum_ {t=1}^{T-1} \gamma_ t(i)}. \] 观测概率（离散观测）： \[ b_ j(k)^{\text{new}} = \frac{\sum_ {t=1}^T \gamma_ t(j) \cdot \mathbf{1}[ o_ t = v_ k]}{\sum_ {t=1}^T \gamma_ t(j)}. \] 6. 迭代与收敛重复E步和M步，直到参数变化小于阈值或似然函数收敛。最终得到最优参数 \( \lambda^* \)。关键点总结 Baum-Welch通过EM算法避免直接求解复杂的极大似然问题。前向-后向算法高效计算边缘概率，是E步的核心。参数更新公式直观反映了“计数”的期望值（如转移次数、观测频次）。适用于离散或连续观测（需调整 \( B \) 的分布形式）。通过以上步骤，即使仅观测到活动序列，也能推断出天气变化的规律（隐藏状态参数）。