高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理

字数 2135 2025-11-05 23:45:49

高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理

题目描述
考虑带权积分问题：计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]

其中权函数为 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫多项式的零点作为节点，并搭配特定权重，可精确计算此类积分。但实际应用中需处理权函数的归一化问题，即如何确保求积公式的权重满足正交多项式的规范条件。本题目要求推导高斯-切比雪夫公式的节点与权重，并分析权函数归一化对公式精度的影响。

解题过程

1. 问题分析与权函数性质

积分中的权函数 \(w(x) = (1-x^2)^{-1/2}\) 在区间 \([-1,1]\) 上定义，且在端点 \(x=\pm1\) 处奇异（趋于无穷大）。
切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 在 \([-1,1]\) 上关于此权函数正交：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m=n=0, \\ \pi/2 & m=n \neq 0. \end{cases} \]

正交性中的常数 \(\pi\) 和 \(\pi/2\) 反映了权函数的归一化因子，需在求积公式中显式处理。

2. 高斯-切比雪夫求积公式的构造

节点选择：取 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的零点（即切比雪夫点）：

\[ x_k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right), \quad k=1,2,\dots,n. \]

这些节点在 \([-1,1]\) 上非均匀分布，端点处更密集。

权重计算：
高斯型求积公式的权重需满足对低次多项式的精确性。利用正交性可推导出所有权重相等：

\[ w_k = \frac{\pi}{n}, \quad k=1,\dots,n. \]

推导依据：公式需对次数小于 \(2n\) 的多项式精确，特别地，对 \(f(x)=1\) 有

\[ \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi = \sum_{k=1}^n w_k \cdot 1 \implies w_k = \frac{\pi}{n}. \]

求积公式：

\[ I \approx \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{n} f(x_k). \]

3. 权函数归一化的作用

消除奇异性影响：权函数 \(w(x)\) 的奇异性被节点分布和权重设计自然吸收。节点在端点处密集，恰好对应权函数值较大的区域，权重 \(\pi/n\) 隐含了对权函数积分的归一化结果 \(\int_{-1}^{1} w(x)dx = \pi\)。
精度保障：公式对任意次数小于 \(2n\) 的多项式 \(f(x)\) 精确成立，因为权函数与切比雪夫多项式构成正交系。归一化常数 \(\pi\) 确保了正交关系的规范性，使公式在多项式逼近下达到最高代数精度。
误差分析：若 \(f(x)\) 是光滑函数，误差随 \(n\) 增大指数衰减，归一化处理避免了因权函数奇异导致的数值不稳定。

4. 实例验证
计算积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)（精确值为 \(\pi J_0(1)\)，其中 \(J_0\) 是贝塞尔函数）。

取 \(n=3\)，节点为

\[ x_1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

权重均为 \(w_k = \pi/3\)。
近似计算：

\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos(0) + \cos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right] = \frac{\pi}{3} \left[ 2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 \right] \approx 2.403. \]

与精确值 \(2.403\) 高度一致，说明归一化处理有效。

5. 总结
高斯-切比雪夫公式通过权函数的正交多项式理论隐式处理归一化，权重设计直接关联权函数的积分值。这种处理避免了显式计算奇异权函数，同时保证了公式在多项式函数空间的最优精度。

高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理题目描述考虑带权积分问题：计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中权函数为 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫多项式的零点作为节点，并搭配特定权重，可精确计算此类积分。但实际应用中需处理权函数的归一化问题，即如何确保求积公式的权重满足正交多项式的规范条件。本题目要求推导高斯-切比雪夫公式的节点与权重，并分析权函数归一化对公式精度的影响。解题过程 1. 问题分析与权函数性质积分中的权函数 \( w(x) = (1-x^2)^{-1/2} \) 在区间 \([ -1,1 ]\) 上定义，且在端点 \(x=\pm1\) 处奇异（趋于无穷大）。切比雪夫多项式 \(T_ n(x) = \cos(n \arccos x)\) 在 \([ -1,1 ]\) 上关于此权函数正交： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m=n=0, \\ \pi/2 & m=n \neq 0. \end{cases} \] 正交性中的常数 \(\pi\) 和 \(\pi/2\) 反映了权函数的归一化因子，需在求积公式中显式处理。 2. 高斯-切比雪夫求积公式的构造节点选择：取 \(n\) 阶切比雪夫多项式 \(T_ n(x)\) 的零点（即切比雪夫点）： \[ x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right), \quad k=1,2,\dots,n. \] 这些节点在 \([ -1,1 ]\) 上非均匀分布，端点处更密集。权重计算：高斯型求积公式的权重需满足对低次多项式的精确性。利用正交性可推导出所有权重相等： \[ w_ k = \frac{\pi}{n}, \quad k=1,\dots,n. \] 推导依据：公式需对次数小于 \(2n\) 的多项式精确，特别地，对 \(f(x)=1\) 有 \[ \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi = \sum_ {k=1}^n w_ k \cdot 1 \implies w_ k = \frac{\pi}{n}. \] 求积公式： \[ I \approx \sum_ {k=1}^n \frac{\pi}{n} f(x_ k). \] 3. 权函数归一化的作用消除奇异性影响：权函数 \(w(x)\) 的奇异性被节点分布和权重设计自然吸收。节点在端点处密集，恰好对应权函数值较大的区域，权重 \(\pi/n\) 隐含了对权函数积分的归一化结果 \(\int_ {-1}^{1} w(x)dx = \pi\)。精度保障：公式对任意次数小于 \(2n\) 的多项式 \(f(x)\) 精确成立，因为权函数与切比雪夫多项式构成正交系。归一化常数 \(\pi\) 确保了正交关系的规范性，使公式在多项式逼近下达到最高代数精度。误差分析：若 \(f(x)\) 是光滑函数，误差随 \(n\) 增大指数衰减，归一化处理避免了因权函数奇异导致的数值不稳定。 4. 实例验证计算积分 \(I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)（精确值为 \(\pi J_ 0(1)\)，其中 \(J_ 0\) 是贝塞尔函数）。取 \(n=3\)，节点为 \[ x_ 1 = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_ 2 = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] 权重均为 \(w_ k = \pi/3\)。近似计算： \[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos(0) + \cos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right] = \frac{\pi}{3} \left[ 2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 1 \right ] \approx 2.403. \] 与精确值 \(2.403\) 高度一致，说明归一化处理有效。 5. 总结高斯-切比雪夫公式通过权函数的正交多项式理论隐式处理归一化，权重设计直接关联权函数的积分值。这种处理避免了显式计算奇异权函数，同时保证了公式在多项式函数空间的最优精度。