非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器混合算法基础题
字数 2378 2025-11-05 23:45:49

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器混合算法基础题

题目描述
考虑一个标准形式的非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
满足约束：
\(g_1(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。
要求使用序列二次规划（SQP）框架，结合积极集策略识别有效约束，利用乘子法处理约束违反，并通过过滤器机制避免目标函数与约束违反的权衡问题，最终找到局部最优解。

解题过程

  1. 算法框架概述
    SQP-积极集-乘子法-过滤器混合算法的核心思想是：

    • 在每次迭代中构造一个二次规划（QP）子问题，近似原问题。
    • 使用积极集法快速识别有效约束，减少计算量。
    • 乘子法将约束违反惩罚融入拉格朗日函数，改善收敛性。
    • 过滤器机制替代传统罚函数，避免目标函数与约束违反的权衡问题。

  2. 初始化
    设初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，初始乘子估计 \(\lambda^{(0)} = (0, 0)\)，初始过滤器 \(\mathcal{F} = \emptyset\)。容忍误差 \(\epsilon = 10^{-6}\)。
    计算初始目标函数值 \(f(x^{(0)}) = 5\) 和约束违反度 \(h(x^{(0)}) = \max(0, g_1(x^{(0)}), g_2(x^{(0)})) = 2\)。

  3. 迭代步骤（以第k次迭代为例）
    步骤1：构造QP子问题
    在当前点 \(x^{(k)}\) 处，计算梯度：
    \(\nabla f(x^{(k)}) = [2(x_1^{(k)} - 2), 2(x_2^{(k)} - 1)]\)
    \(\nabla g_1(x^{(k)}) = [1, 1]\)，\(\nabla g_2(x^{(k)}) = [2x_1^{(k)}, -1]\)。
    拉格朗日函数为 \(L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_1 g_1(x) + \lambda_2 g_2(x)\)，其Hessian矩阵 \(H^{(k)}\) 用BFGS公式近似更新。
    QP子问题形式：
    最小化 \(\nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T H^{(k)} d\)
    满足 \(g_i(x^{(k)}) + \nabla g_i(x^{(k)})^T d \leq 0 \quad (i=1,2)\)。

    步骤2：积极集策略求解QP

    • 检测有效约束：在 \(x^{(0)} = (0,0)\) 时，\(g_1\) 和 \(g_2\) 均违反（值分别为-2和0），但 \(g_2\) 处于边界，故初始积极集 \(\mathcal{A} = \{2\}\)。
    • 求解仅含积极约束的QP，得到搜索方向 \(d^{(k)}\)。若新约束被激活，更新积极集。

    步骤3：乘子法更新
    通过QP解得的乘子 \(\lambda^{(k)}\) 估计约束重要性，修正拉格朗日函数以改善可行性。
    更新公式：\(\lambda^{(k+1)} = \max(0, \lambda^{(k)} + \mu g_i(x^{(k)}))\)，其中 \(\mu\) 为惩罚参数。

    步骤4：过滤器机制判断接受点
    定义违反度 \(\theta(x) = \sum_{i=1}^2 \max(0, g_i(x))\)。
    新点 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d^{(k)}\)（\(\alpha\) 通过线搜索确定）需满足：

    • 要么 \(f(x^{(k+1)}) < f(x^{(j)}) - \gamma \theta(x^{(j)})\) 对所有 \((f(x^{(j)}), \theta(x^{(j)})) \in \mathcal{F}\)（目标下降条件），
    • 要么 \(\theta(x^{(k+1)}) < \beta \theta(x^{(j)})\) 对所有 \((f(x^{(j)}), \theta(x^{(j)})) \in \mathcal{F}\)（违反度下降条件）。
      若接受，将 \((f(x^{(k+1)}), \theta(x^{(k+1)}))\) 加入过滤器，并删除被占优的点。

    步骤5：收敛检查
    若 \(\|d^{(k)}\| < \epsilon\) 且 \(\theta(x^{(k)}) < \epsilon\)，停止迭代，输出 \(x^{(k)}\) 为最优解。

  4. 实例迭代演示

    • 第1次迭代：从 \(x^{(0)} = (0,0)\) 开始，QP解为 \(d^{(0)} = (1, 1)\)，步长 \(\alpha = 0.5\) 满足过滤器条件，更新 \(x^{(1)} = (0.5, 0.5)\)，\(f(x^{(1)}) = 2.5\)，\(\theta(x^{(1)}) = 0.25\)。
    • 持续迭代至 \(x^{(k)} \approx (1, 1)\)，此时 \(f(x) = 1\)，约束满足（违反度为0），达到局部最优。

总结
本算法通过SQP保证局部收敛，积极集法提升效率，乘子法增强稳定性，过滤器避免目标与约束的权衡陷阱。适用于中小规模非线性规划问题。

非线性规划中的序列二次规划-积极集-乘子法-过滤器混合算法基础题 题目描述 考虑一个标准形式的非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 满足约束： \( g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。 要求使用序列二次规划（SQP）框架，结合积极集策略识别有效约束，利用乘子法处理约束违反，并通过过滤器机制避免目标函数与约束违反的权衡问题，最终找到局部最优解。 解题过程 算法框架概述 SQP-积极集-乘子法-过滤器混合算法的核心思想是： 在每次迭代中构造一个二次规划（QP）子问题，近似原问题。 使用积极集法快速识别有效约束，减少计算量。 乘子法将约束违反惩罚融入拉格朗日函数，改善收敛性。 过滤器机制替代传统罚函数，避免目标函数与约束违反的权衡问题。 初始化 设初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，初始乘子估计 \( \lambda^{(0)} = (0, 0) \)，初始过滤器 \( \mathcal{F} = \emptyset \)。容忍误差 \( \epsilon = 10^{-6} \)。 计算初始目标函数值 \( f(x^{(0)}) = 5 \) 和约束违反度 \( h(x^{(0)}) = \max(0, g_ 1(x^{(0)}), g_ 2(x^{(0)})) = 2 \)。 迭代步骤（以第k次迭代为例） 步骤1：构造QP子问题 在当前点 \( x^{(k)} \) 处，计算梯度： \( \nabla f(x^{(k)}) = [ 2(x_ 1^{(k)} - 2), 2(x_ 2^{(k)} - 1) ] \) \( \nabla g_ 1(x^{(k)}) = [ 1, 1] \)，\( \nabla g_ 2(x^{(k)}) = [ 2x_ 1^{(k)}, -1 ] \)。 拉格朗日函数为 \( L(x, \lambda) = f(x) + \lambda_ 1 g_ 1(x) + \lambda_ 2 g_ 2(x) \)，其Hessian矩阵 \( H^{(k)} \) 用BFGS公式近似更新。 QP子问题形式： 最小化 \( \nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T H^{(k)} d \) 满足 \( g_ i(x^{(k)}) + \nabla g_ i(x^{(k)})^T d \leq 0 \quad (i=1,2) \)。 步骤2：积极集策略求解QP 检测有效约束：在 \( x^{(0)} = (0,0) \) 时，\( g_ 1 \) 和 \( g_ 2 \) 均违反（值分别为-2和0），但 \( g_ 2 \) 处于边界，故初始积极集 \( \mathcal{A} = \{2\} \)。 求解仅含积极约束的QP，得到搜索方向 \( d^{(k)} \)。若新约束被激活，更新积极集。 步骤3：乘子法更新 通过QP解得的乘子 \( \lambda^{(k)} \) 估计约束重要性，修正拉格朗日函数以改善可行性。 更新公式：\( \lambda^{(k+1)} = \max(0, \lambda^{(k)} + \mu g_ i(x^{(k)})) \)，其中 \( \mu \) 为惩罚参数。 步骤4：过滤器机制判断接受点 定义违反度 \( \theta(x) = \sum_ {i=1}^2 \max(0, g_ i(x)) \)。 新点 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d^{(k)} \)（\( \alpha \) 通过线搜索确定）需满足： 要么 \( f(x^{(k+1)}) < f(x^{(j)}) - \gamma \theta(x^{(j)}) \) 对所有 \( (f(x^{(j)}), \theta(x^{(j)})) \in \mathcal{F} \)（目标下降条件）， 要么 \( \theta(x^{(k+1)}) < \beta \theta(x^{(j)}) \) 对所有 \( (f(x^{(j)}), \theta(x^{(j)})) \in \mathcal{F} \)（违反度下降条件）。 若接受，将 \( (f(x^{(k+1)}), \theta(x^{(k+1)})) \) 加入过滤器，并删除被占优的点。 步骤5：收敛检查 若 \( \|d^{(k)}\| < \epsilon \) 且 \( \theta(x^{(k)}) < \epsilon \)，停止迭代，输出 \( x^{(k)} \) 为最优解。 实例迭代演示 第1次迭代：从 \( x^{(0)} = (0,0) \) 开始，QP解为 \( d^{(0)} = (1, 1) \)，步长 \( \alpha = 0.5 \) 满足过滤器条件，更新 \( x^{(1)} = (0.5, 0.5) \)，\( f(x^{(1)}) = 2.5 \)，\( \theta(x^{(1)}) = 0.25 \)。 持续迭代至 \( x^{(k)} \approx (1, 1) \)，此时 \( f(x) = 1 \)，约束满足（违反度为0），达到局部最优。 总结 本算法通过SQP保证局部收敛，积极集法提升效率，乘子法增强稳定性，过滤器避免目标与约束的权衡陷阱。适用于中小规模非线性规划问题。