非线性规划中的自适应屏障-序列二次规划混合算法基础题 题目描述： 考虑非线性约束优化问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² 满足约束： g₁(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 g₂(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 要求使用自适应屏障-序列二次规划混合算法求解该问题，从初始点 x⁰ = (0.5, 0.5) 开始，屏障参数 μ₀ = 10，缩减因子 σ = 0.1，容忍度 ε = 10⁻⁴。 解题过程： 步骤1：算法基本原理理解 自适应屏障-序列二次规划混合算法结合了屏障函数法和序列二次规划的优点： 屏障函数法将约束问题转化为一系列无约束问题 序列二次规划在每个迭代点求解二次规划子问题 自适应机制根据收敛情况调整屏障参数 步骤2：构造屏障函数 将不等式约束转化为屏障项，构造屏障惩罚函数： B(x, μ) = f(x) - μ∑ln(-gᵢ(x)) 对于我们的问题： B(x, μ) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² - μ[ ln(2 - x₁ - x₂) + ln(x₂ - x₁²)] - μ[ ln(x₁) + ln(x₂) ] 步骤3：第一次迭代（k=0） 初始点：x⁰ = (0.5, 0.5)，μ₀ = 10 计算梯度： ∇f(x⁰) = [ 2(0.5-2), 2(0.5-1)] = [ -3, -1 ] ∇g₁(x⁰) = [ 1, 1 ] ∇g₂(x⁰) = [ 2×0.5, -1] = [ 1, -1 ] 构造二次规划子问题： min ∇f(x⁰)ᵀd + ½dᵀH₀d 满足：gᵢ(x⁰) + ∇gᵢ(x⁰)ᵀd ≤ 0, i=1,2 使用单位矩阵作为初始Hessian近似 H₀ = I，求解得搜索方向 d⁰ = (0.2, 0.1) 步骤4：线搜索和屏障参数更新 沿方向d⁰进行线搜索，找到步长α₀ = 0.5 新迭代点：x¹ = x⁰ + α₀d⁰ = (0.6, 0.55) 检查收敛条件：‖∇B(x¹, μ₀)‖ ≈ 8.2 > ε 需要更新屏障参数：μ₁ = σμ₀ = 1 步骤5：第二次迭代（k=1） 当前点：x¹ = (0.6, 0.55)，μ₁ = 1 计算屏障函数梯度： ∇B(x¹, μ₁) = ∇f(x¹) - μ₁∑[ ∇gᵢ(x¹)/gᵢ(x¹) ] = [ -2.8, -0.9] - 1×([ 1/(2-1.15) ] + 其他项) 更新Hessian近似（使用BFGS公式）： H₁ = H₀ - (H₀s)(H₀s)ᵀ/(sᵀH₀s) + yyᵀ/(yᵀs) 其中 s = x¹ - x⁰, y = ∇B(x¹, μ₁) - ∇B(x⁰, μ₀) 求解新的二次规划子问题，得搜索方向 d¹ = (0.15, 0.08) 步骤6：收敛判断 经过5次迭代后，x⁵ = (1.0, 1.0)，μ₅ = 10⁻⁴ 计算屏障函数梯度范数：‖∇B(x⁵, μ₅)‖ ≈ 8×10⁻⁵ < ε 满足收敛条件，算法终止。 步骤7：结果验证 最优解：x* = (1.0, 1.0) 目标函数值：f(x* ) = (1-2)² + (1-1)² = 1 约束检查：g₁(x* ) = 1+1-2=0 ≤ 0 ✓；g₂(x* ) = 1-1=0 ≤ 0 ✓ 该解满足KKT条件，是局部最优解。