核k-means聚类算法的原理与实现步骤

题目描述
核k-means聚类算法是传统k-means的扩展，通过核函数将数据映射到高维特征空间，使得在原始空间中非线性可分的数据在高维空间中变得线性可分。题目要求：解释核k-means如何利用核技巧处理非线性聚类问题，并逐步推导其目标函数和迭代过程。

解题过程

1. 问题背景

   • 传统k-means假设数据是球状分布，对非线性结构（如环形或螺旋状数据）效果差。
   • 核方法通过非线性映射Φ将数据从输入空间映射到高维特征空间，在特征空间中执行k-means。

2. 核技巧引入

   • 定义映射Φ: x → Φ(x)，特征空间中的簇中心为μₖ = (1/nₖ)∑Φ(xᵢ)，其中nₖ是簇k的样本数。
   • 直接计算Φ(x)可能维度爆炸，因此使用核函数k(xᵢ, xⱼ) = Φ(xᵢ)ᵀΦ(xⱼ)隐式计算内积。
   • 常用核函数：高斯核k(x,y)=exp(-||x-y||²/2σ²)。

3. 目标函数推导

   • 特征空间中的k-means目标函数：
     min ∑{k=1}^K ∑{xᵢ∈Cₖ} ||Φ(xᵢ) - μₖ||²
   • 展开距离计算（关键步骤）：
     ||Φ(xᵢ) - μₖ||² = k(xᵢ, xᵢ) - (2/nₖ)∑{xⱼ∈Cₖ} k(xᵢ, xⱼ) + (1/nₖ²)∑{xⱼ,xₗ∈Cₖ} k(xⱼ, xₗ)
   • 目标函数完全由核矩阵K（其中Kᵢⱼ=k(xᵢ,xⱼ)）决定，无需显式计算Φ。

4. 迭代优化步骤

   • 初始化：随机分配样本到K个簇，或使用k-means++改进初始中心选择。
   • 分配步骤：对每个样本xᵢ，计算其到各簇的距离（通过核矩阵）：
     d(xᵢ, Cₖ) = k(xᵢ,xᵢ) - (2/nₖ)∑{xⱼ∈Cₖ} k(xᵢ,xⱼ) + (1/nₖ²)∑{xⱼ,xₗ∈Cₖ} k(xⱼ,xₗ)
     将xᵢ分配给距离最小的簇。
   • 更新步骤：簇成员变化后，更新每个簇的样本集合Cₖ和大小nₖ（无需重新计算中心μₖ）。
   • 收敛检查：重复分配和更新步骤，直到簇分配不再变化或目标函数变化小于阈值。

5. 复杂度与注意事项

   • 需存储n×n核矩阵，复杂度O(n²)，适用于中小规模数据。
   • 核选择影响结果：高斯核需调整带宽参数σ。
   • 与传统k-means对比：核k-means可分离非凸簇，但计算成本更高。

总结
核k-means通过核函数隐式在高维空间聚类，解决了非线性可分问题。其核心在于利用核矩阵避免显式映射，迭代过程通过核内积计算样本与簇的距离。