最长公共子序列的变种：带字符替换限制的最长公共子序列（进阶版：允许部分字符替换为通配符）

题目描述
给定两个字符串 s1 和 s2，以及一个字符替换规则：允许将 s1 中的某些特定字符（称为“可替换字符”）替换为通配符 *，该通配符可以匹配 s2 中的任意字符（包括连续多个字符）。此外，通配符在 s1 中最多连续出现次数有限制（设为 k，即通配符段长度不超过 k）。求在这种替换规则下，s1 和 s2 的最长公共子序列（LCS）长度。

解题过程

1. 问题分析

   • 常规 LCS 问题中，字符必须精确匹配。
   • 本题允许将 s1 的部分字符替换为通配符，通配符可匹配 s2 的任意字符，但通配符段长度受限。
   • 目标：利用替换规则最大化 LCS 长度。

2. 状态定义
   设 dp[i][j] 表示考虑 s1 的前 i 个字符和 s2 的前 j 个字符时，能得到的最大 LCS 长度。
   额外状态 cnt[i][j] 表示在 dp[i][j] 状态下，当前连续通配符段的长度（若末尾非通配符则为 0）。

3. 状态转移

   • 情况1：精确匹配
     若 s1[i-1] == s2[j-1]，则直接继承 dp[i-1][j-1] + 1，且重置通配符计数：

     dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + 1)
     cnt[i][j] = 0  // 匹配后通配符段中断
     

   • 情况2：使用通配符替换
     若 s1[i-1] 是可替换字符，且当前通配符段长度 < k，则可将 s1[i-1] 替换为通配符，匹配 s2[j-1]：

     dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + 1)  // 通配符匹配一个字符
     cnt[i][j] = cnt[i-1][j-1] + 1  // 通配符段延长
     

     同时，通配符可匹配 s2 的多个字符，需检查 s1 前导通配符段：

     for t in [1, min(k, i)]:  // 尝试用长度为t的通配符段匹配s2的末尾字符
         if cnt[i-t][j-1] == t:  // 前t个字符是通配符段
             dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-t][j-1] + 1)
             cnt[i][j] = t  // 延续通配符段
     

   • 情况3：跳过字符
     跳过 s1[i-1] 或 s2[j-1]：

     dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
     // 通配符段继承或重置（根据具体选择）
     

4. 初始化

   • dp[0][j] = 0, dp[i][0] = 0（空字符串无公共子序列）。
   • cnt[0][j] = 0, cnt[i][0] = 0。

5. 复杂度优化

   • 直接实现复杂度为 O(n³)，可通过预处理前导通配符段长度优化到 O(n²)。

6. 示例演示
   设 s1 = "aXb", s2 = "acb", 可替换字符集 {X}, k=1。

   • 步骤1：精确匹配 a，dp[1][1]=1。
   • 步骤2：s1[1]='X' 可替换，用通配符匹配 s2[1]='c'，dp[2][2]=2。
   • 步骤3：精确匹配 b，dp[3][3]=3。
   • 结果：LCS 长度为 3（通配符帮助匹配了 c）。

关键点

• 通配符的连续使用受长度限制，需通过 cnt 状态跟踪。
• 通配符可匹配任意字符，但需在状态转移中合理处理多字符匹配情况。