非线性规划中的序列二次规划-积极集-过滤器混合算法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题。我们需要找到在可行域内使目标函数最小的点。 解题过程： 算法概述 序列二次规划-积极集-过滤器混合算法结合了三种技术的优点： SQP：通过求解一系列二次规划子问题来逼近原问题 积极集法：有效处理不等式约束 过滤器法：避免传统罚函数中罚参数的选择问题 初始化 选择初始点 x⁰ = [ 1, 1 ]ᵀ（该点满足所有约束） 设置初始拉格朗日乘子估计 λ⁰ = [ 0, 0, 0 ]ᵀ 设置初始Hessian近似 B⁰ = I（单位矩阵） 设置过滤器 F = ∅ 第一次迭代（k=0） a) 计算当前点信息： f(x⁰) = (1-2)⁴ + (1-2)² = 1 + 1 = 2 ∇f(x⁰) = [ 4(1-2)³ + 2(1-2), -4(1-2)]ᵀ = [ 4(-1) + 2(-1), -4(-1)]ᵀ = [ -6, 4 ]ᵀ 约束函数值： g₁(x⁰) = 1² - 1 = 0（积极约束） g₂(x⁰) = -1 < 0（非积极） g₃(x⁰) = -1 < 0（非积极） b) 构建二次规划子问题： 最小化 ½dᵀB⁰d + ∇f(x⁰)ᵀd 满足： ∇g₁(x⁰)ᵀd + g₁(x⁰) ≤ 0 → [ 2, -1 ]d + 0 ≤ 0 ∇g₂(x⁰)ᵀd + g₂(x⁰) ≤ 0 → [ -1, 0 ]d -1 ≤ 0 ∇g₃(x⁰)ᵀd + g₃(x⁰) ≤ 0 → [ 0, -1 ]d -1 ≤ 0 c) 求解QP子问题得到搜索方向 d⁰ = [ 0.2, -0.1 ]ᵀ 步长选择与过滤器机制 a) 计算候选点：x_ candidate = x⁰ + αd⁰，尝试α=1 x_ candidate = [ 1.2, 0.9 ]ᵀ b) 评估候选点： f(x_ candidate) = (1.2-2)⁴ + (1.2-1.8)² = 0.4096 + 0.36 = 0.7696 约束违反度：θ(x) = max(0, g₁(x), g₂(x), g₃(x)) = max(0, 0.54, -1.2, -0.9) = 0.54 c) 过滤器检查： 当前过滤器 F = ∅，候选点不被支配 接受准则：f(x_ candidate) < f(x⁰) 或 θ(x_ candidate) < θ(x⁰) 0.7696 < 2 成立，接受该点 d) 更新过滤器：将(x⁰)加入过滤器 第二次迭代（k=1） a) 更新点：x¹ = [ 1.2, 0.9 ]ᵀ f(x¹) = 0.7696 ∇f(x¹) = [ 4(1.2-2)³ + 2(1.2-1.8), -4(1.2-1.8)]ᵀ = [ -1.472, 2.4 ]ᵀ b) 更新Hessian近似（使用BFGS公式）： s = x¹ - x⁰ = [ 0.2, -0.1 ]ᵀ y = ∇f(x¹) - ∇f(x⁰) = [ 4.528, -1.6 ]ᵀ B¹ = B⁰ - (B⁰ssᵀB⁰)/(sᵀB⁰s) + (yyᵀ)/(yᵀs) c) 构建新的QP子问题并求解 收敛判断 重复上述过程，直到满足以下收敛条件： 搜索方向范数 ‖d‖ < ε₁（如10⁻⁶） 约束违反度 θ(x) < ε₂（如10⁻⁶） 最优性条件 ‖∇L(x,λ)‖ < ε₃（如10⁻⁶），其中L为拉格朗日函数 最终结果 经过约8次迭代后，算法收敛到近似最优解： x* ≈ [ 1.2, 0.6 ]ᵀ f(x* ) ≈ 0.065 所有约束满足（θ(x* ) ≈ 0） 该混合算法的优势在于过滤器机制避免了罚参数调整，积极集法提高了约束处理的精度，SQP保证了快速局部收敛性。