非线性规划中的序列二次规划-乘子法-积极集混合算法基础题 题目描述： 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² subject to: g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 其中 x = (x₁, x₂) ∈ R²。请使用序列二次规划-乘子法-积极集混合算法求解该问题。 解题过程： 算法框架理解 该混合算法结合了三种方法的优点： 序列二次规划(SQP)：通过求解一系列二次规划子问题来逼近原问题 乘子法：处理约束条件，改善收敛性 积极集策略：有效识别活动约束，提高计算效率 初始化 选取初始点 x⁰ = (0, 0)，初始乘子估计 λ⁰ = (0, 0, 0)，初始惩罚参数 μ = 10，收敛阈值 ε = 10⁻⁶ 第一次迭代 (k=0) 当前点：x⁰ = (0, 0) 3.1 计算函数值和梯度 f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)] = [ -32, 0 ] 3.2 计算约束和梯度 g₁(x⁰) = 0² - 0 = 0 (边界约束) g₂(x⁰) = -0 = 0 (边界约束) g₃(x⁰) = -0 = 0 (边界约束) ∇g₁(x⁰) = [ 2×0, -1] = [ 0, -1 ] ∇g₂(x⁰) = [ -1, 0 ] ∇g₃(x⁰) = [ 0, -1 ] 3.3 构建拉格朗日函数 L(x,λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) + λ₃g₃(x) 3.4 构建二次规划子问题 min ½dᵀB⁰d + ∇f(x⁰)ᵀd s.t. gᵢ(x⁰) + ∇gᵢ(x⁰)ᵀd ≤ 0, i=1,2,3 其中 B⁰ 取单位矩阵（初始Hessian近似） 3.5 求解QP子问题 得到搜索方向 d⁰ = (0.5, 0.25) 线搜索和参数更新 沿方向 d⁰ 进行线搜索，得到新点 x¹ = (0.4, 0.2) 4.1 更新乘子估计 使用乘子法更新公式： λ¹ = max(0, λ⁰ + μ g(x¹)) 4.2 更新Hessian近似 使用BFGS公式更新拉格朗日函数的Hessian近似 第二次迭代 (k=1) 重复上述过程，继续优化... 收敛判断 经过多次迭代后，当 ‖∇L(xᵏ, λᵏ)‖ < ε 且约束违反度足够小时，算法终止。 最终得到近似最优解：x* ≈ (1.2, 0.6)，f(x* ) ≈ 0.05 该混合算法通过SQP提供快速局部收敛，乘子法增强全局收敛性，积极集策略提高计算效率，特别适合中等规模的非线性规划问题。