深度学习中的正则化方法之权重衰减（Weight Decay）原理与实现细节

题目描述
权重衰减是深度学习中一种常用的正则化技术，通过向损失函数添加模型权重的L2范数惩罚项，控制模型复杂度，防止过拟合。其核心思想是：在优化过程中，不仅最小化原始损失函数，同时约束权重的大小，使模型参数趋向于较小的值，提升泛化能力。本题要求详细解释权重衰减的数学原理、作用机制及其在优化器中的实现方式。

解题过程

1. 过拟合问题与正则化需求

   • 深度学习模型参数量大，易过拟合（训练误差低、测试误差高）。
   • 正则化的目标是限制模型复杂度，权重衰减通过对大权重施加惩罚实现这一目标。

2. 权重衰减的数学形式

   • 原始损失函数为 \(L(\theta)\)，其中 \(\theta\) 为模型参数。
   • 添加L2正则化项后的总损失函数：

\[ L_{\text{total}}(\theta) = L(\theta) + \frac{\lambda}{2} \|\theta\|_2^2 \]

 - $\lambda$ 是超参数，控制惩罚强度（$\lambda$ 越大，权重越小）。  
 - $\frac{1}{2}$ 是为了求导后形式简洁（与平方项的导数抵消）。

3. 梯度更新过程
   • 对总损失求梯度：

\[ \nabla L_{\text{total}} = \nabla L(\theta) + \lambda \theta \]

• 标准梯度下降更新规则变为：

\[ \theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) - \eta \lambda \theta_t \]

 - $\eta$ 为学习率。  

• 等价形式：

\[ \theta_{t+1} = (1 - \eta \lambda) \theta_t - \eta \nabla L(\theta_t) \]

 - 项 $(1 - \eta \lambda)$ 在每一步更新前对权重进行缩放，使其向零衰减。

4. 与优化器的结合实现

   • 在SGD或Adam等优化器中，权重衰减通常作为参数更新的一部分独立实现：
     • 错误实现：将L2项直接加到损失函数中（若优化器已内置权重衰减，会导致重复惩罚）。
     • 正确实现：在计算梯度后，直接在权重更新时添加衰减项（如PyTorch中设置 weight_decay=lambda）。
   • 示例（SGD with Weight Decay）：

     # PyTorch 优化器参数  
     optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01, weight_decay=1e-4)
     

5. 权重衰减的作用机制

   • 抑制大权重：惩罚大的参数值，使模型更平滑，降低对噪声的敏感度。
   • 等效于贝叶斯先验：L2正则化等价于假设参数服从高斯先验分布（最大后验估计）。
   • 与学习率的关系：衰减强度由 \(\eta \lambda\) 共同决定，需协调调整（例如学习率大时，需减小 \(\lambda\)）。

6. 与其他正则化技术的对比

   • L1正则化（Lasso）：产生稀疏权重，适用于特征选择。
   • Dropout：通过随机失活神经元防止过拟合，与权重衰减互补。
   • 早期停止：通过验证集监控间接控制模型复杂度。

关键点总结

• 权重衰减通过L2惩罚项显式约束参数范数，是优化过程中的内置正则化。
• 实现时需注意优化器是否已内置权重衰减逻辑，避免重复惩罚。
• 超参数 \(\lambda\) 需与学习率协同调优，以平衡拟合能力与泛化性能。