分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在低秩更新求逆中的应用

字数 2183 2025-11-05 08:30:59

分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在低秩更新求逆中的应用

题目描述
假设我们已有一个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 的逆矩阵 \(A^{-1}\)，现需对 \(A\) 进行低秩更新，得到新矩阵 \(B = A + UV^T\)，其中 \(U\) 和 \(V\) 是 \(n \times k\) 矩阵（通常 \(k \ll n\)）。要求高效计算 \(B^{-1}\)，避免直接对 \(B\) 求逆（因直接求逆复杂度为 \(O(n^3)\)）。Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式提供了一种利用 \(A^{-1}\) 和低维矩阵运算的快速求逆方法。

解题过程

1. 问题分析

直接计算 \(B^{-1}\) 的复杂度为 \(O(n^3)\)，当 \(n\) 很大时计算代价高昂。
SMW 公式将问题转化为对 \(k \times k\) 矩阵求逆（复杂度 \(O(k^3)\)），再利用矩阵乘法组合结果，总复杂度降为 \(O(n^2 k + k^3)\)。
适用条件：\(A\) 可逆，且更新项 \(UV^T\) 为低秩（\(k \ll n\)）。

2. SMW 公式推导
公式的原始形式为：

\[(A + UV^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I_k + V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} \]

推导思路：

假设 \(B^{-1} = A^{-1} + Z\)，通过方程 \(B B^{-1} = I\) 求解 \(Z\)。
将 \(B = A + UV^T\) 代入：

\[ (A + UV^T)(A^{-1} + Z) = I \]

展开得：

\[ I + AZ + UV^TA^{-1} + UV^TZ = I \]

整理项：

\[ AZ + UV^T(A^{-1} + Z) = 0 \]

令 \(W = A^{-1} + Z\)，则方程化为：

\[ AZ + UV^TW = 0 \implies Z = -A^{-1}UV^TW \]

代入 \(W = A^{-1} + Z\)：

\[ W = A^{-1} - A^{-1}UV^TW \]

解出 \(W\)：

\[ W = (I_k + A^{-1}UV^T)^{-1}A^{-1} \]

但需注意维度匹配问题。实际上，通过矩阵分块和舒尔补（Schur Complement）严格推导可得最终公式（见下一步）。

3. 严格证明（舒尔补方法）
考虑分块矩阵：

\[M = \begin{bmatrix} A & U \\ V^T & -I_k \end{bmatrix} \]

利用分块矩阵求逆引理：
若 \(A\) 可逆，则

\[M^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1}U S^{-1} V^T A^{-1} & -A^{-1}U S^{-1} \\ -S^{-1}V^TA^{-1} & S^{-1} \end{bmatrix} \]

其中 \(S = -I_k - V^TA^{-1}U\) 为舒尔补。
另一方面，直接验证 \(B = A + UV^T\) 的逆可通过 \(M\) 的左上块表达，最终得到：

\[B^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U (I_k + V^TA^{-1}U)^{-1} V^T A^{-1} \]

（注意：这里 \(S = -I_k - V^TA^{-1}U\)，通过符号调整即得标准形式。）

4. 计算步骤
给定 \(A^{-1}\)、\(U\)、\(V\)，计算 \(B^{-1}\) 的流程：

计算中间矩阵 \(C = V^T A^{-1} U\)（\(k \times k\) 矩阵），复杂度 \(O(n^2 k)\)。
计算小矩阵逆 \(D = (I_k + C)^{-1}\)（\(k \times k\) 矩阵求逆），复杂度 \(O(k^3)\)。
计算更新项 \(E = A^{-1} U D\)（\(n \times k\) 矩阵），复杂度 \(O(n k^2)\)。
组合结果 \(B^{-1} = A^{-1} - E V^T A^{-1}\)（矩阵乘法），复杂度 \(O(n^2 k)\)。
总复杂度主导项为 \(O(n^2 k)\)，远优于 \(O(n^3)\)。

5. 数值稳定性注意事项

当 \(A\) 病态或 \(I_k + V^TA^{-1}U\) 接近奇异时，公式可能数值不稳定。
改进方法：使用正则化（如对 \(A\) 添加小扰动），或改用QR分解等稳定算法处理低秩更新部分。

6. 应用场景

动态系统参数更新（如卡尔曼滤波）。
机器学习中的在线学习（如线性回归的增量更新）。
网络分析中的矩阵微调（如PageRank算法）。

通过以上步骤，SMW公式将大规模求逆问题转化为小规模计算，显著提升效率。

分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在低秩更新求逆中的应用题目描述假设我们已有一个 \( n \times n \) 矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)，现需对 \( A \) 进行低秩更新，得到新矩阵 \( B = A + UV^T \)，其中 \( U \) 和 \( V \) 是 \( n \times k \) 矩阵（通常 \( k \ll n \)）。要求高效计算 \( B^{-1} \)，避免直接对 \( B \) 求逆（因直接求逆复杂度为 \( O(n^3) \)）。Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式提供了一种利用 \( A^{-1} \) 和低维矩阵运算的快速求逆方法。解题过程 1. 问题分析直接计算 \( B^{-1} \) 的复杂度为 \( O(n^3) \)，当 \( n \) 很大时计算代价高昂。 SMW 公式将问题转化为对 \( k \times k \) 矩阵求逆（复杂度 \( O(k^3) \)），再利用矩阵乘法组合结果，总复杂度降为 \( O(n^2 k + k^3) \)。适用条件：\( A \) 可逆，且更新项 \( UV^T \) 为低秩（\( k \ll n \)）。 2. SMW 公式推导公式的原始形式为： \[ (A + UV^T)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I_ k + V^TA^{-1}U)^{-1}V^TA^{-1} \] 推导思路：假设 \( B^{-1} = A^{-1} + Z \)，通过方程 \( B B^{-1} = I \) 求解 \( Z \)。将 \( B = A + UV^T \) 代入： \[ (A + UV^T)(A^{-1} + Z) = I \] 展开得： \[ I + AZ + UV^TA^{-1} + UV^TZ = I \] 整理项： \[ AZ + UV^T(A^{-1} + Z) = 0 \] 令 \( W = A^{-1} + Z \)，则方程化为： \[ AZ + UV^TW = 0 \implies Z = -A^{-1}UV^TW \] 代入 \( W = A^{-1} + Z \)： \[ W = A^{-1} - A^{-1}UV^TW \] 解出 \( W \)： \[ W = (I_ k + A^{-1}UV^T)^{-1}A^{-1} \] 但需注意维度匹配问题。实际上，通过矩阵分块和舒尔补（Schur Complement）严格推导可得最终公式（见下一步）。 3. 严格证明（舒尔补方法）考虑分块矩阵： \[ M = \begin{bmatrix} A & U \\ V^T & -I_ k \end{bmatrix} \] 利用分块矩阵求逆引理：若 \( A \) 可逆，则 \[ M^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1}U S^{-1} V^T A^{-1} & -A^{-1}U S^{-1} \\ -S^{-1}V^TA^{-1} & S^{-1} \end{bmatrix} \] 其中 \( S = -I_ k - V^TA^{-1}U \) 为舒尔补。另一方面，直接验证 \( B = A + UV^T \) 的逆可通过 \( M \) 的左上块表达，最终得到： \[ B^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U (I_ k + V^TA^{-1}U)^{-1} V^T A^{-1} \] （注意：这里 \( S = -I_ k - V^TA^{-1}U \)，通过符号调整即得标准形式。） 4. 计算步骤给定 \( A^{-1} \)、\( U \)、\( V \)，计算 \( B^{-1} \) 的流程：计算中间矩阵 \( C = V^T A^{-1} U \)（\( k \times k \) 矩阵），复杂度 \( O(n^2 k) \)。计算小矩阵逆 \( D = (I_ k + C)^{-1} \)（\( k \times k \) 矩阵求逆），复杂度 \( O(k^3) \)。计算更新项 \( E = A^{-1} U D \)（\( n \times k \) 矩阵），复杂度 \( O(n k^2) \)。组合结果 \( B^{-1} = A^{-1} - E V^T A^{-1} \)（矩阵乘法），复杂度 \( O(n^2 k) \)。总复杂度主导项为 \( O(n^2 k) \)，远优于 \( O(n^3) \)。 5. 数值稳定性注意事项当 \( A \) 病态或 \( I_ k + V^TA^{-1}U \) 接近奇异时，公式可能数值不稳定。改进方法：使用正则化（如对 \( A \) 添加小扰动），或改用QR分解等稳定算法处理低秩更新部分。 6. 应用场景动态系统参数更新（如卡尔曼滤波）。机器学习中的在线学习（如线性回归的增量更新）。网络分析中的矩阵微调（如PageRank算法）。通过以上步骤，SMW公式将大规模求逆问题转化为小规模计算，显著提升效率。