高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理

字数 2249 2025-11-05 08:30:59

高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理

题目描述
考虑带权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 的积分问题：

\[\int_{-1}^{1} f(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx, \]

高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的零点作为节点，可直接计算此类积分。但实际应用中，权函数可能需要归一化（即调整权重使其满足标准正交性条件）。本题要求：

推导标准高斯-切比雪夫公式的节点与权重；
分析权函数归一化的必要性；
演示归一化后公式在积分 \(\int_{-1}^{1} \cos(x) / \sqrt{1-x^2} dx\) 中的应用。

解题过程

1. 高斯-切比雪夫公式的节点与权重推导

理论基础：切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\) 在区间 \([-1,1]\) 上关于权函数 \(w(x) = 1/\sqrt{1-x^2}\) 正交，即：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m = n = 0, \\ \pi/2 & m = n \geq 1. \end{cases} \]

节点选择：取 \(T_n(x)\) 的零点（即切比雪夫节点）：

\[ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n. \]

权重计算：高斯求积要求权重满足对次数低于 \(2n\) 的多项式精确积分。利用正交多项式的性质，所有权重相等：

\[ w_k = \frac{\pi}{n}, \quad k = 1, \dots, n. \]

公式为：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k). \]

2. 权函数归一化的必要性分析

问题：原权函数 \(w(x)\) 的积分 \(\int_{-1}^{1} w(x) dx = \pi\)，而非1。若需权函数满足归一化条件 \(\int_{-1}^{1} \tilde{w}(x) dx = 1\)，需定义 \(\tilde{w}(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}\)。
影响：归一化后，求积公式变为：

\[ \int_{-1}^{1} f(x) \tilde{w}(x) dx \approx \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k). \]

权重从 \(\pi/n\) 变为 \(1/n\)，避免因权函数非归一化导致的缩放误差。

3. 归一化公式的应用示例
计算积分：

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} dx. \]

精确解：该积分可解析求解，令 \(x = \cos t\)，得：

\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos(\cos t) dt = \pi J_0(1), \]

其中 \(J_0\) 是零阶贝塞尔函数，数值约等于 \(2.40394\)。

高斯-切比雪夫求积（未归一化）：
取 \(n=3\)，节点为：

\[ x_1 = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2, \quad x_2 = \cos(\pi/2) = 0, \quad x_3 = \cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2. \]

近似值为：

\[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos(\sqrt{3}/2) + \cos(0) + \cos(-\sqrt{3}/2) \right] = \frac{\pi}{3} (2\cos(0.866) + 1) \approx 2.418. \]

归一化处理：
使用归一化权函数 \(\tilde{w}(x)\)，公式变为：

\[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \cdot \pi^{-1} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k). \]

计算得：

\[ I \approx \frac{1}{3} \left[ \cos(0.866) + \cos(0) + \cos(-0.866) \right] \approx 0.769, \]

但需注意：这里实际计算的是 \(\int_{-1}^{1} \cos x \cdot \tilde{w}(x) dx\)，其真实值为 \(J_0(1) \approx 0.765\)。归一化后的结果更接近真实值，避免了因权函数缩放导致的偏差。

结论
权函数归一化确保求积公式直接对应概率测度，适用于需要标准化权重的场景（如概率计算）。在实际应用中，需根据积分定义选择是否归一化。

高斯-切比雪夫求积公式在带权函数积分中的权函数归一化处理题目描述考虑带权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 的积分问题： \[ \int_ {-1}^{1} f(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx, \] 高斯-切比雪夫求积公式通过选取切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点作为节点，可直接计算此类积分。但实际应用中，权函数可能需要归一化（即调整权重使其满足标准正交性条件）。本题要求：推导标准高斯-切比雪夫公式的节点与权重；分析权函数归一化的必要性；演示归一化后公式在积分 \( \int_ {-1}^{1} \cos(x) / \sqrt{1-x^2} dx \) 中的应用。解题过程 1. 高斯-切比雪夫公式的节点与权重推导理论基础：切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 在区间 \([ -1,1 ]\) 上关于权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 正交，即： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0 & m \neq n, \\ \pi & m = n = 0, \\ \pi/2 & m = n \geq 1. \end{cases} \] 节点选择：取 \( T_ n(x) \) 的零点（即切比雪夫节点）： \[ x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right), \quad k = 1, 2, \dots, n. \] 权重计算：高斯求积要求权重满足对次数低于 \( 2n \) 的多项式精确积分。利用正交多项式的性质，所有权重相等： \[ w_ k = \frac{\pi}{n}, \quad k = 1, \dots, n. \] 公式为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k). \] 2. 权函数归一化的必要性分析问题：原权函数 \( w(x) \) 的积分 \( \int_ {-1}^{1} w(x) dx = \pi \)，而非1。若需权函数满足归一化条件 \( \int_ {-1}^{1} \tilde{w}(x) dx = 1 \)，需定义 \( \tilde{w}(x) = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}} \)。影响：归一化后，求积公式变为： \[ \int_ {-1}^{1} f(x) \tilde{w}(x) dx \approx \frac{1}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k). \] 权重从 \( \pi/n \) 变为 \( 1/n \)，避免因权函数非归一化导致的缩放误差。 3. 归一化公式的应用示例计算积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2}} dx. \] 精确解：该积分可解析求解，令 \( x = \cos t \)，得： \[ I = \int_ {0}^{\pi} \cos(\cos t) dt = \pi J_ 0(1), \] 其中 \( J_ 0 \) 是零阶贝塞尔函数，数值约等于 \( 2.40394 \)。高斯-切比雪夫求积（未归一化）：取 \( n=3 \)，节点为： \[ x_ 1 = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2, \quad x_ 2 = \cos(\pi/2) = 0, \quad x_ 3 = \cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2. \] 近似值为： \[ I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos(\sqrt{3}/2) + \cos(0) + \cos(-\sqrt{3}/2) \right ] = \frac{\pi}{3} (2\cos(0.866) + 1) \approx 2.418. \] 归一化处理：使用归一化权函数 \( \tilde{w}(x) \)，公式变为： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k) \cdot \pi^{-1} = \frac{1}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k). \] 计算得： \[ I \approx \frac{1}{3} \left[ \cos(0.866) + \cos(0) + \cos(-0.866) \right ] \approx 0.769, \] 但需注意：这里实际计算的是 \( \int_ {-1}^{1} \cos x \cdot \tilde{w}(x) dx \)，其真实值为 \( J_ 0(1) \approx 0.765 \)。归一化后的结果更接近真实值，避免了因权函数缩放导致的偏差。结论权函数归一化确保求积公式直接对应概率测度，适用于需要标准化权重的场景（如概率计算）。在实际应用中，需根据积分定义选择是否归一化。