LU分解的误差分析与稳定性改进算法 题目描述 LU分解是求解线性方程组 \( Ax = b \) 的经典算法，但在实际计算中，由于浮点数舍入误差，直接分解可能导致数值不稳定（尤其当矩阵主元接近零时）。本题要求分析LU分解的误差来源，并介绍通过 列主元选取（Partial Pivoting） 改进稳定性的方法。 解题过程 LU分解的基本形式 目标：将矩阵 \( A \) 分解为下三角矩阵 \( L \) 和上三角矩阵 \( U \)，即 \( A = LU \)。 直接分解过程（以3×3矩阵为例）： 第一步：用第一行消去第二行和第三行的第一个元素，得到 \( L_ {21} = a_ {21}/a_ {11} \)，\( L_ {31} = a_ {31}/a_ {11} \)。 第二步：在剩余子矩阵（右下角2×2部分）重复消元。 问题：若 \( a_ {11} \) 很小，计算 \( L_ {ij} \) 时可能产生大数，放大舍入误差。 误差来源分析 舍入误差（Round-off Error）：浮点数运算（如除法 \( a_ {ij}/a_ {kk} \)）会丢失精度。 增长因子（Growth Factor）： 定义：\( \rho = \frac{\max_ {i,j,k} |a_ {ij}^{(k)}|}{\max_ {i,j} |a_ {ij}|} \)，其中 \( a_ {ij}^{(k)} \) 是第 \( k \) 步消元后的矩阵元素。 若 \( \rho \) 很大，说明中间计算值远大于原始值，误差可能失控。 示例：若 \( A = \begin{bmatrix} 10^{-10} & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)，直接分解需计算 \( L_ {21} = 1/10^{-10} = 10^{10} \)，导致数值不稳定。 稳定性改进：列主元选取（Partial Pivoting） 核心思想：在每一步消元前，选择当前列中绝对值最大的元素作为主元，交换行以避免小主元。 步骤： 第 \( k \) 步时，找到第 \( k \) 列中行索引 \( p \geq k \) 使 \( |a_ {pk}| = \max_ {i \geq k} |a_ {ik}| \)。 交换第 \( k \) 行与第 \( p \) 行。 记录行交换信息到置换矩阵 \( P \)，此时分解形式为 \( PA = LU \)。 优势：确保每一步的乘子 \( |L_ {ij}| \leq 1 \)，控制增长因子 \( \rho \leq 2^{n-1} \)。 数值示例 设 \( A = \begin{bmatrix} 0.001 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)，直接LU分解： \( L_ {21} = 1/0.001 = 1000 \)， \( U_ {22} = 1 - 1000 \times 2 = -1999 \)（精度损失）。 列主元选取： 交换两行得 \( PA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0.001 & 2 \end{bmatrix} \)， \( L_ {21} = 0.001/1 = 0.001 \)， \( U_ {22} = 2 - 0.001 \times 1 = 1.999 \)，结果更稳定。 算法总结 列主元LU分解的复杂度仍为 \( O(n^3) \)，但显著提升数值稳定性。 实际应用（如MATLAB的 lu(A) ）默认使用列主元策略。