分块矩阵的Schur分解算法

题目描述
给定一个n×n的复矩阵A，将其划分为2×2的分块矩阵形式。Schur分解定理指出，存在一个酉矩阵Q和一个上三角矩阵T，使得A = QTQᴴ。当矩阵A是实矩阵且仅有实特征值时，T可以是实上三角矩阵；否则，T是复上三角矩阵（称为拟三角矩阵，对角线上的块为1×1或2×2，对应实特征值或共轭复特征值对）。分块矩阵的Schur分解算法旨在通过迭代方法，将原矩阵逐步转化为上三角（或拟三角）形式，同时保持矩阵的酉相似变换。

解题过程

第一步：理解Schur分解的基本形式
Schur分解的标准形式为A = QTQᴴ，其中Q是酉矩阵（QᴴQ = I），T是上三角矩阵（当A为复矩阵）或实拟上三角矩阵（当A为实矩阵）。拟上三角矩阵的对角块为1×1（实特征值）或2×2（共轭复特征值对）。分解的目标是通过酉相似变换保留特征值（T的对角块包含A的全部特征值），同时简化矩阵结构。

第二步：分块矩阵的划分与迭代策略

1. 将矩阵A划分为2×2分块形式：

\[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \]

其中，A₁₁是p×p子矩阵（p通常取1或2），A₂₂是(n-p)×(n-p)子矩阵。
2. 迭代思想：通过酉相似变换，逐步将A₂₁（左下子块）化为零矩阵，从而使矩阵更接近上三角形式。每次迭代处理一个分块，最终使整个矩阵变为上三角（或拟三角）。

第三步：具体迭代步骤（以实矩阵为例）

1. 选取位移点：计算A的一个特征值近似（如通过右下角2×2子矩阵的特征值），作为位移μ，以加速收敛。
2. QR迭代：
   • 计算位移后的矩阵A - μI。
   • 对A - μI进行QR分解：A - μI = QR，其中Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。
   • 更新矩阵：Aₙₑ𝓌 = RQ + μI。
     这一步骤通过酉相似变换（Aₙₑ𝓌 = QᴴAQ）保持特征值不变，但会减小A₂₁的范数。
3. 分块处理：
   • 检查A₂₁的范数是否小于容差（如ε∥A∥）。若满足，则A₁₁和A₂₂可分离处理：
     • 对A₁₁递归应用Schur分解，得到Q₁和T₁₁。
     • 对A₂₂递归应用Schur分解，得到Q₂和T₂₂。
   • 整体酉矩阵Q由分块对角矩阵diag(Q₁, Q₂)与迭代中的Q相乘构成。
4. 处理复特征值：若A是实矩阵且出现共轭复特征值，则使用双步位移策略（以两个共轭复位移点进行QR迭代），避免复数运算，直接得到2×2对角块。

第四步：算法收敛性与终止条件

• 迭代中，子块A₂₁的范数单调递减，算法最终收敛到拟上三角矩阵T。
• 终止条件：当A₂₁的范数小于预设容差时，认为该分块已收敛，转而处理其他分块。
• 最终，T的对角块包含所有特征值，Q的列向量为对应的Schur向量。

第五步：复杂度与稳定性

• 算法复杂度为O(n³)，与标准QR算法相当，但分块策略利于并行计算。
• 使用酉变换保证数值稳定性，避免误差放大。

通过以上步骤，分块矩阵的Schur分解将原矩阵逐步转化为易于提取特征值的上三角形式，同时保留了矩阵的酉相似关系。