基于线性规划的图最小环覆盖问题求解示例
字数 1929 2025-11-05 08:30:59

基于线性规划的图最小环覆盖问题求解示例

题目描述
考虑一个带权有向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集（\(|V| = n\)），\(E\) 是边集，每条边 \((i, j) \in E\) 有一个非负权重 \(c_{ij}\)。最小环覆盖问题要求找到一组顶点不相交的有向环，使得每个顶点恰好被一个环覆盖，且所有环的权重之和最小。该问题可转化为线性规划问题求解。

解题过程

  1. 问题建模
    定义决策变量 \(x_{ij} \in \{0, 1\}\)：若边 \((i, j)\) 被选入环覆盖，则 \(x_{ij} = 1\)；否则为 0。目标函数为最小化总权重：

\[ \min \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij}. \]

约束条件包括：

  • 每个顶点的出度为1：对任意 \(i \in V\)，\(\sum_{j: (i,j) \in E} x_{ij} = 1\)。
  • 每个顶点的入度为1：对任意 \(j \in V\)，\(\sum_{i: (i,j) \in E} x_{ij} = 1\)。
  • 避免子环（Subtour Elimination）：需添加约束确保解不包含多个环。例如，对任意非空真子集 \(S \subset V\)，要求 \(\sum_{i \in S, j \notin S} x_{ij} \geq 1\)。
  1. 线性规划松弛
    将整数约束 \(x_{ij} \in \{0,1\}\) 松弛为 \(0 \leq x_{ij} \leq 1\)，得到线性规划模型：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j: (i,j) \in E} x_{ij} = 1, \quad \forall i \in V, \\ & \sum_{i: (i,j) \in E} x_{ij} = 1, \quad \forall j \in V, \\ & \sum_{i \in S, j \notin S} x_{ij} \geq 1, \quad \forall S \subset V, S \neq \emptyset, \\ & 0 \leq x_{ij} \leq 1. \end{aligned} \]

子环消除约束数量指数级增长，需通过割平面法动态添加。

  1. 求解步骤

    • 步骤1：求解忽略子环消除约束的松弛问题（即指派问题）。若解为单个环，则已是最优解。
    • 步骤2：若解包含多个环，检查每个连通分量（环）对应的顶点集 \(S\)。对每个满足 \(\sum_{i \in S, j \notin S} x_{ij} = 0\) 的 \(S\)，添加割平面约束 \(\sum_{i \in S, j \notin S} x_{ij} \geq 1\)。
    • 步骤3：重新求解线性规划，重复步骤2直到得到单个环覆盖。
    • 步骤4：由于模型是整数规划的全单模矩阵，线性规划松弛的解自动为整数解，即 \(x_{ij} \in \{0,1\}\)。

  2. 实例演示
    设图 \(G\) 有4个顶点，边权重矩阵为：

\[ c = \begin{bmatrix} \infty & 2 & 3 & 1 \\ 1 & \infty & 4 & 2 \\ 2 & 3 & \infty & 5 \\ 4 & 1 & 2 & \infty \end{bmatrix} \]

（对角线为 \(\infty\) 表示无自环）。

  • 忽略子环约束，求解指派问题得解：环 \(1 \to 4 \to 2 \to 1\) 和环 \(3 \to 3\)。
  • 添加割平面：对子集 \(S = \{3\}\)，约束 \(x_{3,1} + x_{3,2} + x_{3,4} \geq 1\) 被违反（当前 \(\sum_{i \in S, j \notin S} x_{ij} = 0\)）。
  • 重新求解后得到最优环覆盖：\(1 \to 4 \to 3 \to 2 \to 1\)，总权重为 \(1 + 2 + 3 + 1 = 7\)。

关键点

  • 子环消除约束需动态生成，避免枚举所有子集。
  • 全单模性保证线性规划松弛的解为整数，无需分支定界。
  • 该问题本质是寻找最小权重的完美匹配在环上的推广。
基于线性规划的图最小环覆盖问题求解示例 题目描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集（\( |V| = n \)），\( E \) 是边集，每条边 \( (i, j) \in E \) 有一个非负权重 \( c_ {ij} \)。最小环覆盖问题要求找到一组顶点不相交的有向环，使得每个顶点恰好被一个环覆盖，且所有环的权重之和最小。该问题可转化为线性规划问题求解。 解题过程 问题建模 定义决策变量 \( x_ {ij} \in \{0, 1\} \)：若边 \( (i, j) \) 被选入环覆盖，则 \( x_ {ij} = 1 \)；否则为 0。目标函数为最小化总权重： \[ \min \sum_ {(i,j) \in E} c_ {ij} x_ {ij}. \] 约束条件包括： 每个顶点的出度为1 ：对任意 \( i \in V \)，\( \sum_ {j: (i,j) \in E} x_ {ij} = 1 \)。 每个顶点的入度为1 ：对任意 \( j \in V \)，\( \sum_ {i: (i,j) \in E} x_ {ij} = 1 \)。 避免子环（Subtour Elimination） ：需添加约束确保解不包含多个环。例如，对任意非空真子集 \( S \subset V \)，要求 \( \sum_ {i \in S, j \notin S} x_ {ij} \geq 1 \)。 线性规划松弛 将整数约束 \( x_ {ij} \in \{0,1\} \) 松弛为 \( 0 \leq x_ {ij} \leq 1 \)，得到线性规划模型： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {(i,j) \in E} c_ {ij} x_ {ij} \\ \text{s.t.} \quad & \sum_ {j: (i,j) \in E} x_ {ij} = 1, \quad \forall i \in V, \\ & \sum_ {i: (i,j) \in E} x_ {ij} = 1, \quad \forall j \in V, \\ & \sum_ {i \in S, j \notin S} x_ {ij} \geq 1, \quad \forall S \subset V, S \neq \emptyset, \\ & 0 \leq x_ {ij} \leq 1. \end{aligned} \] 子环消除约束数量指数级增长，需通过 割平面法 动态添加。 求解步骤 步骤1 ：求解忽略子环消除约束的松弛问题（即指派问题）。若解为单个环，则已是最优解。 步骤2 ：若解包含多个环，检查每个连通分量（环）对应的顶点集 \( S \)。对每个满足 \( \sum_ {i \in S, j \notin S} x_ {ij} = 0 \) 的 \( S \)，添加割平面约束 \( \sum_ {i \in S, j \notin S} x_ {ij} \geq 1 \)。 步骤3 ：重新求解线性规划，重复步骤2直到得到单个环覆盖。 步骤4 ：由于模型是整数规划的全单模矩阵，线性规划松弛的解自动为整数解，即 \( x_ {ij} \in \{0,1\} \)。 实例演示 设图 \( G \) 有4个顶点，边权重矩阵为： \[ c = \begin{bmatrix} \infty & 2 & 3 & 1 \\ 1 & \infty & 4 & 2 \\ 2 & 3 & \infty & 5 \\ 4 & 1 & 2 & \infty \end{bmatrix} \] （对角线为 \( \infty \) 表示无自环）。 忽略子环约束，求解指派问题得解：环 \( 1 \to 4 \to 2 \to 1 \) 和环 \( 3 \to 3 \)。 添加割平面：对子集 \( S = \{3\} \)，约束 \( x_ {3,1} + x_ {3,2} + x_ {3,4} \geq 1 \) 被违反（当前 \( \sum_ {i \in S, j \notin S} x_ {ij} = 0 \)）。 重新求解后得到最优环覆盖：\( 1 \to 4 \to 3 \to 2 \to 1 \)，总权重为 \( 1 + 2 + 3 + 1 = 7 \)。 关键点 子环消除约束需动态生成，避免枚举所有子集。 全单模性保证线性规划松弛的解为整数，无需分支定界。 该问题本质是寻找最小权重的完美匹配在环上的推广。