因此，$ \lambda_i \mu_j $ 是 $ A \otimes B $ 的特征值，对应特征向量为 $ z_{ij} $。

分块矩阵的Kronecker积特征值计算算法 题目描述 给定两个矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m \times m} \) 和 \( B \in \mathbb{R}^{n \times n} \)，其Kronecker积定义为分块矩阵 \( A \otimes B \in \mathbb{R}^{mn \times mn} \)，其中每个块为 \( a_ {ij} B \)。如何高效计算 \( A \otimes B \) 的全部特征值？要求利用 \( A \) 和 \( B \) 的特征值直接推导出 \( A \otimes B \) 的特征值，避免显式构造大规模矩阵。 解题过程 Kronecker积的定义与性质 Kronecker积的数学表达式为： \[ A \otimes B = \begin{bmatrix} a_ {11}B & a_ {12}B & \cdots \\ a_ {21}B & a_ {22}B & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \] 关键性质：若 \( A \) 和 \( B \) 可对角化（即存在特征分解），则 \( A \otimes B \) 的特征值可通过 \( A \) 和 \( B \) 的特征值组合得到。 特征值的推导 假设 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2, \dots, \lambda_ m \)，对应的特征向量为 \( x_ 1, x_ 2, \dots, x_ m \)； \( B \) 的特征值为 \( \mu_ 1, \mu_ 2, \dots, \mu_ n \)，对应的特征向量为 \( y_ 1, y_ 2, \dots, y_ n \)。 对任意 \( i \in [ 1, m] \) 和 \( j \in [ 1, n] \)，构造向量 \( z_ {ij} = x_ i \otimes y_ j \)（即 \( z_ {ij} \) 的每个元素是 \( x_ i \) 和 \( y_ j \) 对应分量的乘积）。 验证 \( z_ {ij} \) 是 \( A \otimes B \) 的特征向量： \[ (A \otimes B)(x_ i \otimes y_ j) = (A x_ i) \otimes (B y_ j) = (\lambda_ i x_ i) \otimes (\mu_ j y_ j) = \lambda_ i \mu_ j (x_ i \otimes y_ j) \] 因此，\( \lambda_ i \mu_ j \) 是 \( A \otimes B \) 的特征值，对应特征向量为 \( z_ {ij} \)。 算法步骤 输入 ：矩阵 \( A \) 和 \( B \)。 步骤1 ：分别计算 \( A \) 和 \( B \) 的特征值 \( \{\lambda_ i\} \) 和 \( \{\mu_ j\} \)。若矩阵不可对角化，需先通过Schur分解或其他方法转化为上三角矩阵。 步骤2 ：生成所有特征值对 \( \lambda_ i \mu_ j \)（共 \( mn \) 个），无需显式构造 \( A \otimes B \)。 步骤3 （可选）：若需特征向量，计算 \( x_ i \otimes y_ j \) 作为近似向量（注意数值稳定性）。 复杂度和优势 传统方法直接计算 \( mn \times mn \) 矩阵的特征值，复杂度为 \( O(m^3 n^3) \)。 本算法仅需计算 \( A \) 和 \( B \) 的特征值（复杂度 \( O(m^3 + n^3) \)），再组合结果，避免大规模矩阵操作。 应用场景 适用于图像处理、量子力学中的张量积系统、偏微分方程离散化等问题，其中Kronecker积自然出现且维度高。