CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制的密钥生成过程 题目描述 CRYSTALS-Kyber 是一种基于格的后量子公钥加密和密钥封装机制（KEM），其安全性依赖于模块化格上的带误差学习问题（MLWE）。本题要求详细解释 Kyber 的密钥生成过程，包括参数选择、矩阵生成、误差引入以及公钥/私钥的最终构造。 解题过程 步骤 1：理解基础参数 Kyber 的操作基于以下预定义参数（以 Kyber-512 为例）： \( n = 256 \)：多项式环 \( R = \mathbb{Z}_ q[ X ]/(X^n + 1) \) 的维度。 \( q = 3329 \)：模数，用于定义多项式系数在 \( \mathbb{Z}_ q \) 上的运算。 \( k = 2 \)：模块化格的维度（即公钥矩阵的行数和列数）。 \( \eta_ 1, \eta_ 2 \)：决定误差多项式系数的分布参数（例如 \( \eta_ 1 = 3, \eta_ 2 = 2 \)）。 密钥生成的目标是生成一个私钥 \( s \) 和一个公钥 \( (A, t) \)，其中 \( A \) 是一个 \( k \times k \) 多项式矩阵，\( t \) 是公钥向量。 步骤 2：生成公钥矩阵 \( A \) 种子扩展 ： 使用密码学安全的随机数生成器（如 SHAKE-128）生成一个种子 \( \rho \)（长度通常为 32 字节）。 通过扩展函数 \( \text{ExpandA}(\rho) \) 将 \( \rho \) 扩展为一个 \( k \times k \) 多项式矩阵 \( A \)。每个多项式的系数均匀采样自 \( \mathbb{Z}_ q \)。 关键点：\( A \) 是伪随机生成的，且无需存储整个矩阵，只需存储种子 \( \rho \) 即可重建。 多项式生成方法 ： 例如，对于 \( A_ {i,j} \in R \)，其系数通过 SHAKE-128 输出按 \( q \) 取模生成，确保可重现性。 步骤 3：生成私钥 \( s \) 和误差 \( e \) 私钥 \( s \) 的采样 ： 私钥 \( s \) 是一个长度为 \( k \) 的多项式向量，每个多项式的系数从中心二项分布（CBD）中采样。 具体操作：生成 \( \eta_ 1 \times 2 \) 个随机比特，计算“1”的数量减去“0”的数量，得到系数值（范围在 \( [ -\eta_ 1, \eta_ 1 ] \)）。 例如，若 \( \eta_ 1 = 3 \)，则生成 6 个随机比特，统计差值作为系数。 误差 \( e \) 的采样 ： 误差向量 \( e \) 的采样方式与 \( s \) 类似，但使用参数 \( \eta_ 2 \)（可能更小）。 注意：在 Kyber 中，密钥生成和加密使用不同的误差分布（\( \eta_ 1 \) 和 \( \eta_ 2 \) 可能不同）。 步骤 4：计算公钥 \( t \) 核心运算 ： 公钥向量 \( t \) 的计算公式为： \[ t = A s + e \pmod{q} \] 其中乘法是多项式乘法（在环 \( R \) 中），加法是系数模 \( q \) 加法。 数值压缩 ： 为减少公钥尺寸，\( t \) 的系数可能会被压缩（例如，保留高位比特）。在解密时需通过压缩损失进行近似重建。 Kyber 定义压缩函数 \( \text{Compress}(x, d) \) 保留 \( d \) 个比特，例如 \( d=10 \) 时压缩 \( 3329 \) 到 \( 1024 \) 范围内。 步骤 5：最终密钥格式 私钥 ：\( s \)（原始多项式向量）。 公钥 ：\( (\rho, t) \)，其中 \( \rho \) 是生成 \( A \) 的种子，\( t \) 是压缩后的公钥向量。 存储时，公钥和私钥会编码为字节序列（涉及多项式系数的编码规范，如位打包）。 步骤 6：安全性关键点 MLWE 问题 ：从 \( (A, t) \) 恢复 \( s \) 或 \( e \) 是困难的，即使攻击者知道 \( A \) 的生成方式。 随机预言模型 ：\( \text{ExpandA} \) 被设计为随机预言机，确保 \( A \) 的伪随机性。 误差分布 ：中心二项分布提供高斯近似的安全性，同时避免高精度采样开销。 总结 Kyber 的密钥生成过程通过伪随机矩阵生成、误差注入和线性运算，将 MLWE 问题的实例转化为公钥-私钥对。其设计兼顾了效率（种子压缩、简化采样）与后量子安全性，成为 NIST 后量子密码标准化中的首选 KEM 方案。