排序算法之：Smoothsort（平滑排序）的堆结构优化与自适应性能分析

题目描述

Smoothsort 是一种由 Edsger Dijkstra 提出的基于堆的排序算法，结合了堆排序的高效性和插入排序在部分有序数据上的优势。其核心思想是使用Leonardo堆（一种特殊的堆结构）动态调整数据顺序，使得在部分有序的序列中时间复杂度接近 O(n)，最坏情况下为 O(n log n)。本题要求理解 Leonardo 堆的构建过程、Smoothsort 的分步排序策略，并分析其自适应特性。

解题过程

步骤 1：理解 Leonardo 堆与 Leonardo 数

1. Leonardo 数定义：
   Leonardo 数序列定义为：

\[ L(0) = 1, \quad L(1) = 1, \quad L(k) = L(k-1) + L(k-2) + 1 \quad (k \geq 2) \]

例如：L(2)=3, L(3)=5, L(4)=9, L(5)=15, ...。
每个 Leonardo 数对应一个完美平衡的二叉树结构（类似满二叉树但允许最后一层不完全填充）。

2. Leonardo 堆的性质：
   • 堆由多个 Leonardo 树组成，每棵树满足最大堆性质（父节点 ≥ 子节点）。
   • 树的尺寸由 Leonardo 数严格定义，且相邻树的尺寸必须满足 L(k) 和 L(k-2)（或 L(k-1)）的关系，确保可合并或拆分。

步骤 2：Smoothsort 的堆构建过程

1. 初始化：
   遍历数组，动态维护一个 Leonardo 堆序列。堆的数量尽可能少，且尺寸严格递增（例如：尺寸为 1, 3, 5 的堆可相邻，但不能重复）。

2. 插入元素（扩展堆）：

   • 若当前堆序列的末尾两个堆尺寸为 L(k-1) 和 L(k-2)，则合并为一个 L(k) 的堆。
   • 否则，若当前元素无法合并，则新建一个大小为 L(1)=1 的堆。

3. 维护堆性质：
   每插入一个元素后，调整新堆使其满足最大堆性质（类似堆排序的 sift_down 操作）。

步骤 3：排序与堆的分解

1. 提取最大值：

   • 最大元素始终位于某个 Leonardo 堆的根节点。
   • 将根节点与堆中最后一个元素交换，相当于取出最大值。

2. 堆的拆分：

   • 移除根节点后，原堆（尺寸为 L(k)）拆分为两个子堆：
     • 左子树：尺寸为 L(k-2)
     • 右子树：尺寸为 L(k-1)
   • 对拆分后的堆重新调整，保持最大堆性质。

3. 重复过程：
   持续提取最大值并调整堆，直到所有元素有序。

步骤 4：自适应特性分析

1. 最佳情况 O(n)：

   • 若输入已有序，Smoothsort 仅需验证堆性质，无需调整堆结构。
   • 每次插入新元素时，直接扩展堆而不触发 sift_down 操作。

2. 最坏情况 O(n log n)：

   • 类似堆排序，但 Leonardo 堆的平衡性减少了调整次数。

3. 空间复杂度：

   • 仅需 O(1) 额外空间（原地排序）。

关键代码逻辑（伪代码）

def leonardo(k):
    if k < 2: 
        return 1
    return leonardo(k-1) + leonardo(k-2) + 1

def smoothsort(arr):
    n = len(arr)
    # 初始化堆序列
    heaps = []
    # 构建 Leonardo 堆
    for i in range(n):
        # 合并或新建堆的逻辑
        if len(heaps) >= 2 and heaps[-2] == heaps[-1] + 1:
            heaps[-2] = heaps[-1] + 1
            heaps.pop()
        else:
            heaps.append(1)
        # 调整堆（sift_down 操作）
        fix_heap(arr, i, heaps)
    
    # 逐步提取最大值
    for i in range(n-1, -1, -1):
        # 交换最大值到末尾
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        # 调整堆序列
        heaps.pop()
        if heaps:
            # 拆分堆并重新调整
            heaps.append(heaps.pop() - 1)
            fix_heap(arr, i-1, heaps)

def fix_heap(arr, idx, heaps):
    # 根据 Leonardo 堆结构调整当前堆
    # 类似堆排序的 sift_down，但需考虑多堆结构
    current = idx
    k = len(heaps) - 1
    while k >= 1:
        left = current - leonardo(heaps[k])  # 左子堆根节点
        right = current - 1                 # 右子堆根节点
        # 比较根节点与子节点，必要时交换
        if arr[left] > arr[current] or arr[right] > arr[current]:
            if arr[left] > arr[right]:
                arr[left], arr[current] = arr[current], arr[left]
                current = left
            else:
                arr[right], arr[current] = arr[current], arr[right]
                current = right
        k -= 1

总结

• 优势：Smoothsort 在部分有序数据上表现优异，且是原地排序。
• 挑战：实现复杂，需严格维护 Leonardo 堆的尺寸关系。
• 适用场景：适合需要自适应排序且对稳定性要求不高的场景（如游戏引擎、实时系统）。

通过理解 Leonardo 堆的合并与拆分机制，可以掌握 Smoothsort 如何平衡堆排序的效率和插入排序的适应性。