CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制的解密过程
字数 2117 2025-11-05 08:30:59

CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制的解密过程

我将为您详细讲解 CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制中的解密过程。Kyber 是一种基于模格上带误差学习问题（Module-Learning With Errors, MLWE）的密钥封装机制（KEM），已被 NIST 选为后量子密码标准化项目的主要算法。

题目描述
在 Kyber 的解密过程中，接收方（Bob）使用自己的私钥对收到的密文进行解密，以恢复出封装在其中的对称密钥。解密过程的核心是使用私钥信息来“消除”密文中的公开部分和误差，从而还原出原始消息。这个过程需要精确的模运算和多项式运算，以确保解密的正确性。

解题过程

1. 预备知识：Kyber 的基本参数与符号

  • 令 \(q = 3329\) 为模数（在 Kyber-512/768/1024 中通用）。
  • 令 \(n = 256\)，即环 \(R_q = \mathbb{Z}_q[X] / (X^n + 1)\) 中的多项式次数。
  • 密文 \(c = (u, v)\)，其中 \(u\) 是一个或多个多项式（向量），\(v\) 是一个多项式（标量）。
  • 私钥 \(s\) 是一个小系数多项式向量（其系数取自中心二项分布）。
  • 解密过程的目标是从 \(c\) 中恢复出消息 \(m\)（一个 256 比特的串，但封装时被编码为多项式）。

2. 解密过程的第一步：计算近似消息多项式
解密过程的核心公式是计算：

\[\tilde{m} = v - s^T u \mod q \]

  • \(s^T u\) 表示私钥向量 \(s\) 与密文向量 \(u\) 的内积（在多项式环 \(R_q\) 上进行）。
  • 这个计算的结果 \(\tilde{m}\) 是一个多项式，其系数在 \([-q/2, q/2)\) 范围内。
  • 关键点：在加密时，消息 \(m\) 被编码并添加了小的误差。因此，\(\tilde{m}\) 是原始编码消息的一个“近似”版本，包含了加密时引入的误差。

3. 第二步：从近似消息中解码出原始消息比特
由于 \(\tilde{m}\) 的系数是接近 0 或 \(q/2\) 的值（取决于原始消息比特是 0 还是 1），我们需要将其解码回比特串。

  • 对于 \(\tilde{m}\) 的每个系数 \(\tilde{m}_i\)（共 256 个系数，对应 256 比特消息）：
    • 将系数值范围 \([0, q)\) 划分为两个区间：
      • 区间 \([0, q/2)\) 对应消息比特 0。
      • 区间 \([q/2, q)\) 对应消息比特 1。
    • 但由于计算是在模 \(q\) 下进行的，我们通常将系数调整到 \([-q/2, q/2)\) 范围内（通过模约简），然后：
      • 如果 \(\tilde{m}_i\) 接近 0（即其绝对值小于 \(q/4\)），则解码为 0。
      • 如果 \(\tilde{m}_i\) 接近 \(\pm q/2\)（即其绝对值大于 \(q/4\)），则解码为 1。
  • 数学表达：解码函数可以写为：

\[ m_i = \lfloor 2 \cdot \tilde{m}_i / q \rceil \mod 2 \]

其中 \(\lfloor \cdot \rceil\) 表示四舍五入到最近的整数。

4. 第三步：处理解密失败的可能性

  • Kyber 的设计使得解密失败的概率极低（通常小于 \(2^{-128}\)），但理论上仍存在因误差过大导致解码错误的可能。
  • 解密失败是指解码出的消息 \(m'\) 与原始封装的消息 \(m\) 不一致。在 Kyber 的规范中，通过精心选择误差分布和参数，确保了解密的可靠性。
  • 在实际实现中，解密后得到的消息 \(m'\) 会通过密钥派生函数（KDF）生成对称密钥，用于后续加密通信。即使解密失败，其影响也仅限于本次会话。

5. 完整解密流程总结

  1. 输入：密文 \(c = (u, v)\)，私钥 \(s\)。
  2. 计算近似消息：\(\tilde{m} = v - s^T u \mod q\)。
  3. 解码消息：对 \(\tilde{m}\) 的每个系数应用解码规则，得到 256 比特的消息 \(m'\)。
  4. 输出：\(m'\) 作为解密结果，后续通过 KDF 派生密钥。

为什么解密过程是安全的？

  • 安全性基于 MLWE 问题：即使攻击者知道公钥 \((A, t)\) 和密文 \((u, v)\)，在没有私钥 \(s\) 的情况下，无法区分 \(\tilde{m}\) 是由真实消息还是随机值生成的。
  • 误差的引入使得直接求解变得困难，而合法的解密者利用私钥 \(s\) 可以有效地消除主项，只留下小的误差，从而正确解码。

通过以上步骤，Kyber 的解密过程实现了高效且安全的密钥恢复，是其后量子安全性的关键组成部分。

CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制的解密过程 我将为您详细讲解 CRYSTALS-Kyber 后量子密钥封装机制中的解密过程。Kyber 是一种基于模格上带误差学习问题（Module-Learning With Errors, MLWE）的密钥封装机制（KEM），已被 NIST 选为后量子密码标准化项目的主要算法。 题目描述 在 Kyber 的解密过程中，接收方（Bob）使用自己的私钥对收到的密文进行解密，以恢复出封装在其中的对称密钥。解密过程的核心是使用私钥信息来“消除”密文中的公开部分和误差，从而还原出原始消息。这个过程需要精确的模运算和多项式运算，以确保解密的正确性。 解题过程 1. 预备知识：Kyber 的基本参数与符号 令 \( q = 3329 \) 为模数（在 Kyber-512/768/1024 中通用）。 令 \( n = 256 \)，即环 \( R_ q = \mathbb{Z}_ q[ X ] / (X^n + 1) \) 中的多项式次数。 密文 \( c = (u, v) \)，其中 \( u \) 是一个或多个多项式（向量），\( v \) 是一个多项式（标量）。 私钥 \( s \) 是一个小系数多项式向量（其系数取自中心二项分布）。 解密过程的目标是从 \( c \) 中恢复出消息 \( m \)（一个 256 比特的串，但封装时被编码为多项式）。 2. 解密过程的第一步：计算近似消息多项式 解密过程的核心公式是计算： \[ \tilde{m} = v - s^T u \mod q \] \( s^T u \) 表示私钥向量 \( s \) 与密文向量 \( u \) 的内积（在多项式环 \( R_ q \) 上进行）。 这个计算的结果 \( \tilde{m} \) 是一个多项式，其系数在 \( [ -q/2, q/2) \) 范围内。 关键点 ：在加密时，消息 \( m \) 被编码并添加了小的误差。因此，\( \tilde{m} \) 是原始编码消息的一个“近似”版本，包含了加密时引入的误差。 3. 第二步：从近似消息中解码出原始消息比特 由于 \( \tilde{m} \) 的系数是接近 0 或 \( q/2 \) 的值（取决于原始消息比特是 0 还是 1），我们需要将其解码回比特串。 对于 \( \tilde{m} \) 的每个系数 \( \tilde{m}_ i \)（共 256 个系数，对应 256 比特消息）： 将系数值范围 \( [ 0, q) \) 划分为两个区间： 区间 \( [ 0, q/2) \) 对应消息比特 0。 区间 \( [ q/2, q) \) 对应消息比特 1。 但由于计算是在模 \( q \) 下进行的，我们通常将系数调整到 \( [ -q/2, q/2) \) 范围内（通过模约简），然后： 如果 \( \tilde{m}_ i \) 接近 0（即其绝对值小于 \( q/4 \)），则解码为 0。 如果 \( \tilde{m}_ i \) 接近 \( \pm q/2 \)（即其绝对值大于 \( q/4 \)），则解码为 1。 数学表达 ：解码函数可以写为： \[ m_ i = \lfloor 2 \cdot \tilde{m}_ i / q \rceil \mod 2 \] 其中 \( \lfloor \cdot \rceil \) 表示四舍五入到最近的整数。 4. 第三步：处理解密失败的可能性 Kyber 的设计使得解密失败的概率极低（通常小于 \( 2^{-128} \)），但理论上仍存在因误差过大导致解码错误的可能。 解密失败是指解码出的消息 \( m' \) 与原始封装的消息 \( m \) 不一致。在 Kyber 的规范中，通过精心选择误差分布和参数，确保了解密的可靠性。 在实际实现中，解密后得到的消息 \( m' \) 会通过密钥派生函数（KDF）生成对称密钥，用于后续加密通信。即使解密失败，其影响也仅限于本次会话。 5. 完整解密流程总结 输入 ：密文 \( c = (u, v) \)，私钥 \( s \)。 计算近似消息 ：\( \tilde{m} = v - s^T u \mod q \)。 解码消息 ：对 \( \tilde{m} \) 的每个系数应用解码规则，得到 256 比特的消息 \( m' \)。 输出 ：\( m' \) 作为解密结果，后续通过 KDF 派生密钥。 为什么解密过程是安全的？ 安全性基于 MLWE 问题：即使攻击者知道公钥 \( (A, t) \) 和密文 \( (u, v) \)，在没有私钥 \( s \) 的情况下，无法区分 \( \tilde{m} \) 是由真实消息还是随机值生成的。 误差的引入使得直接求解变得困难，而合法的解密者利用私钥 \( s \) 可以有效地消除主项，只留下小的误差，从而正确解码。 通过以上步骤，Kyber 的解密过程实现了高效且安全的密钥恢复，是其后量子安全性的关键组成部分。