分块矩阵的QR分解在求解多重最小二乘问题中的应用 题目描述：考虑多重最小二乘问题，即需要同时求解多个具有相同系数矩阵但不同右端向量的最小二乘问题：min_ X ||AX - B||_ F²，其中A是m×n矩阵（m≥n），B是m×p矩阵，X是n×p矩阵。当p较大时，直接对每个右端向量单独求解效率低下。本问题要求使用分块矩阵的QR分解方法高效求解该问题。 解题过程： 问题分析 多重最小二乘问题可视为p个独立的最小二乘问题：对每个右端向量b_ i，求解min_ x_ i ||Ax_ i - b_ i||² 直接解法需要对每个b_ i分别计算，时间复杂度为O(p·mn²) 利用分块矩阵QR分解可以共享A的分解结果，显著提高计算效率 QR分解准备 对矩阵A进行QR分解：A = QR 其中Q是m×m正交矩阵，R是m×n上三角矩阵 实际计算中，我们使用经济型QR分解：A = Q_ 1R_ 1 Q_ 1是m×n列正交矩阵，R_ 1是n×n上三角矩阵 问题变换 将目标函数改写：||AX - B||_ F² = ||QRX - B||_ F² 利用正交矩阵的范数不变性：= ||RX - QᵀB||_ F² 令C = QᵀB，则问题简化为：min_ X ||RX - C||_ F² 分块结构利用 将C按列分块：C = [ c_ 1, c_ 2, ..., c_ p ] 将X按列分块：X = [ x_ 1, x_ 2, ..., x_ p ] 原问题分解为p个独立的三角方程组：Rx_ i = c_ i (i=1,...,p) 回代求解 由于R是上三角矩阵，每个方程组Rx_ i = c_ i可通过回代法快速求解 回代过程从最后一行开始： x_ i(n) = c_ i(n)/R(n,n) x_ i(k) = [ c_ i(k) - Σ_ {j=k+1}^n R(k,j)x_ i(j) ]/R(k,k) 算法效率分析 QR分解复杂度：O(mn²) 矩阵乘法QᵀB复杂度：O(mnp) p个回代求解复杂度：O(pn²) 总复杂度：O(mn² + mnp + pn²) 相比直接解法O(p·mn²)，当p较大时优势明显 数值稳定性考虑 QR分解相比法方程方法具有更好的数值稳定性 对于病态矩阵A，可考虑使用列主元QR分解 在回代过程中应注意避免小主元导致的数值不稳定 这种方法通过共享矩阵A的QR分解结果，避免了重复计算，特别适合需要处理多个右端向量的应用场景。