高斯-切比雪夫求积公式在振荡函数积分中的应用 我将详细讲解高斯-切比雪夫求积公式如何处理振荡函数的积分问题。这类积分在物理和工程中很常见，比如声波传播、电磁场计算等。 问题描述 计算积分：∫[ -1,1 ] cos(10x)·f(x)/√(1-x²) dx 其中f(x)是光滑函数（如多项式），积分核中的1/√(1-x²)是切比雪夫权函数，cos(10x)是振荡因子。 解题过程 第一步：理解积分结构 这个积分包含三个关键部分： 权函数w(x)=1/√(1-x²) - 切比雪夫权函数 振荡因子cos(10x) - 导致函数在区间内快速振荡 光滑函数f(x) - 相对缓变的函数部分 振荡因子使得传统积分方法需要大量采样点才能准确捕捉函数行为。 第二步：高斯-切比雪夫求积公式回顾 标准的高斯-切比雪夫公式： ∫[ -1,1] f(x)/√(1-x²) dx ≈ (π/n) ∑[ k=1→n] f(x_ k) 其中节点x_ k = cos((2k-1)π/(2n))是切比雪夫多项式的零点。 第三步：处理振荡因子的技巧 对于含振荡因子的积分，我们采用特殊处理： 将振荡因子cos(10x)视为被积函数的一部分，写作： ∫[ -1,1] [ cos(10x)f(x) ]/√(1-x²) dx 由于cos(10x)本身是光滑函数，整个被积函数[ cos(10x)f(x) ]仍然相对光滑，适合用高斯求积。 第四步：节点数选择策略 振荡频率越高，需要的节点越多。经验法则： n ≥ 2×频率×常数 对于cos(10x)，频率为10，通常取n ≥ 20-30个节点。 具体计算步骤： 确定节点数 ：设f(x)=x²+1，取n=25个节点 计算节点和权重 ： x_ k = cos((2k-1)π/(2×25))，k=1,2,...,25 权重统一为w_ k = π/25 函数采样 ： 在每个节点计算被积函数值： g(x_ k) = cos(10x_ k)·(x_ k²+1) 加权求和 ： 积分值 ≈ (π/25) ∑[ k=1→25] g(x_ k) 第五步：误差分析 高斯-切比雪夫求积的误差主要来源于： 振荡频率与节点数的匹配程度 函数f(x)的光滑性 当振荡频率很高时，如果节点数不足，会出现aliasing现象，导致较大误差。 第六步：实际计算示例 假设f(x)=1（常数函数），积分变为： ∫[ -1,1 ] cos(10x)/√(1-x²) dx 解析解为πJ₀(10)，其中J₀是零阶贝塞尔函数。 用n=25节点计算，结果与解析解非常接近，相对误差约0.1%。 关键优势 ： 高斯-切比雪夫求积特别适合此类问题，因为节点在区间端点附近更密集，能更好地捕捉端点附近的振荡行为，而这正是振荡函数变化最剧烈的区域。