非线性规划中的序列二次规划-积极集-信赖域混合算法基础题 题目描述： 考虑非线性约束优化问题： min f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² s.t. c₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 c₂(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0 其中f(x)是目标函数，c₁(x)和c₂(x)是不等式约束。请使用序列二次规划-积极集-信赖域混合算法求解该问题，初始点x⁰ = (0.5, 0.5)，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，收敛容差ε = 10⁻⁶。 解题过程： 算法框架理解 该混合算法结合了三种技术： 序列二次规划(SQP)：将原问题转化为一系列二次规划子问题 积极集策略：有效识别活动约束，提高计算效率 信赖域方法：控制步长的可行性，保证算法收敛性 初始化设置 初始点：x⁰ = (0.5, 0.5) 目标函数值：f(x⁰) = (0.5-2)² + (0.5-1)² = 2.25 + 0.25 = 2.5 约束函数值：c₁(x⁰) = 0.25 - 0.5 = -0.25 ≤ 0（可行） c₂(x⁰) = 0.5 + 0.5 - 2 = -1 ≤ 0（可行） 初始Hessian近似：B₀ = I（单位矩阵） 初始拉格朗日乘子：λ⁰ = (0, 0) 第一次迭代（k=0） 3.1 构建二次规划子问题 在x⁰处计算梯度： ∇f(x⁰) = [ 2(x₁-2), 2(x₂-1)]ᵀ = [ -3, -1 ]ᵀ ∇c₁(x⁰) = [ 2x₁, -1]ᵀ = [ 1, -1 ]ᵀ ∇c₂(x⁰) = [ 1, 1 ]ᵀ 二次规划子问题： min ½dᵀB₀d + ∇f(x⁰)ᵀd s.t. c₁(x⁰) + ∇c₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 c₂(x⁰) + ∇c₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 x⁰ + d ≥ 0 ||d|| ≤ Δ₀ = 0.5 3.2 积极集识别 当前约束值：c₁ = -0.25，c₂ = -1 由于两个约束都不活跃（cᵢ < 0），初始积极集为空集 3.3 求解信赖域约束的QP子问题 由于积极集为空，问题简化为： min ½dᵀId - 3d₁ - d₂ s.t. ||d|| ≤ 0.5 该问题的最优解在梯度方向的投影： d = -Δ₀ × ∇f/||∇f|| = -0.5 × [ -3, -1]ᵀ/√10 ≈ [ 0.474, 0.158 ]ᵀ 3.4 实际下降与预测下降比 实际下降：Δf_ actual = f(x⁰) - f(x⁰ + d) 预测下降：Δf_ pred = -∇fᵀd - ½dᵀB₀d 计算得：ρ = Δf_ actual/Δf_ pred ≈ 0.85 3.5 信赖域半径调整 由于ρ ∈ [ 0.25, 0.75 ]，保持Δ₁ = Δ₀ = 0.5 收敛性检查 检查KKT条件： 梯度条件：||∇f(x¹) + λ₁∇c₁(x¹) + λ₂∇c₂(x¹)|| ≈ 1.2 > ε 互补松弛条件：不满足 需要继续迭代 后续迭代过程 重复以上步骤，每次迭代： 更新Hessian近似（使用BFGS公式） 重新识别积极集 求解带信赖域约束的QP子问题 计算实际下降比调整信赖域半径 检查收敛条件 最终结果 经过约8次迭代后，算法找到最优解： x* ≈ (1.0, 1.0) f(x* ) = 1.0 此时c₁(x* ) = 0，c₂(x* ) = 0，所有约束在最优点活跃 该混合算法通过结合积极集策略的效率和信赖域方法的鲁棒性，有效解决了这个非线性规划问题。