高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的超参数优化方法
字数 2304 2025-11-04 20:47:20

高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的超参数优化方法

题目描述
高斯过程回归（GPR）是一种非参数贝叶斯模型，常用于回归任务。其核心是通过高斯过程先验定义函数分布，并利用观测数据更新后验分布。GPR的性能高度依赖核函数的选择及其超参数（如长度尺度、方差等）的设定。本题要求详解GPR超参数优化的原理与方法，包括边缘似然最大化的推导、梯度计算流程以及优化算法实现步骤。

解题过程

1. 高斯过程回归的基本设定

  • 假设观测数据为 \(\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n\)，其中 \(y_i = f(x_i) + \epsilon\)，噪声 \(\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma_n^2)\)。
  • 高斯过程先验定义为 \(f(\cdot) \sim \mathcal{GP}(m(\cdot), k(\cdot, \cdot))\)，其中 \(m(\cdot)\) 为均值函数（常设为0），\(k(\cdot, \cdot)\) 为核函数（如径向基函数核）。
  • 核函数超参数记为 \(\theta\)（例如RBF核的参数包括长度尺度 \(l\) 和信号方差 \(\sigma_f^2\)），与噪声方差 \(\sigma_n^2\) 共同构成待优化的超参数集合 \(\Theta = \{\theta, \sigma_n^2\}\)。

2. 超参数优化的目标函数：边缘似然

  • 边缘似然（证据）表示数据在给定超参数下的概率：

\[ \log p(y | X, \Theta) = -\frac{1}{2} y^T (K + \sigma_n^2 I)^{-1} y - \frac{1}{2} \log |K + \sigma_n^2 I| - \frac{n}{2} \log 2\pi \]

其中 \(K\) 是核函数计算的协方差矩阵（\(K_{ij} = k(x_i, x_j; \theta)\)）。

  • 目标是通过最大化边缘似然（或最小化其负对数）找到最优超参数：

\[ \Theta^* = \arg\min_{\Theta} \left[ \frac{1}{2} y^T (K + \sigma_n^2 I)^{-1} y + \frac{1}{2} \log |K + \sigma_n^2 I| \right] \]

  • 边缘似然的三项含义：
    • 第一项（数据拟合项）：衡量模型与数据的匹配程度。
    • 第二项（复杂度惩罚项）：避免过拟合（协方差矩阵行列式随模型复杂度增加而增大）。
    • 第三项：常数项，不影响优化。

3. 梯度计算

  • 为使用梯度下降法，需计算边缘似然对超参数 \(\Theta_j\) 的偏导。设 \(K_y = K + \sigma_n^2 I\)，则：

\[ \frac{\partial}{\partial \Theta_j} \log p(y | X, \Theta) = \frac{1}{2} y^T K_y^{-1} \frac{\partial K_y}{\partial \Theta_j} K_y^{-1} y - \frac{1}{2} \text{tr}\left( K_y^{-1} \frac{\partial K_y}{\partial \Theta_j} \right) \]

  • 推导要点：
    • 利用矩阵求导公式 \(\frac{\partial K_y^{-1}}{\partial \Theta_j} = -K_y^{-1} \frac{\partial K_y}{\partial \Theta_j} K_y^{-1}\) 和 \(\frac{\partial \log |K_y|}{\partial \Theta_j} = \text{tr}(K_y^{-1} \frac{\partial K_y}{\partial \Theta_j})\)。
    • 计算 \(\frac{\partial K_y}{\partial \Theta_j}\) 需根据核函数形式具体求解（例如RBF核对长度尺度 \(l\) 的偏导）。

4. 优化算法步骤

  1. 初始化超参数 \(\Theta^{(0)}\)（如使用启发式规则或随机采样）。
  2. 迭代更新（以梯度上升为例）：
    • 计算当前协方差矩阵 \(K_y\) 及其逆矩阵（通过Cholesky分解保证数值稳定性）。
    • 计算边缘似然梯度 \(\nabla \log p(y | X, \Theta^{(t)})\)。
    • 更新超参数：\(\Theta^{(t+1)} = \Theta^{(t)} + \eta \nabla \log p(y | X, \Theta^{(t)})\)（\(\eta\) 为学习率）。
  3. 终止条件：梯度范数小于阈值或达到最大迭代次数。
  4. 注意事项：
    • 多起始点策略：避免陷入局部最优。
    • 约束处理：超参数需为正数，可用指数参数化（如 \(l = \exp(\beta)\)）将无约束优化转化为有约束问题。

6. 超参数优化的实际影响

  • 长度尺度 \(l\)：控制函数平滑度（\(l\) 过大导致欠拟合，过小导致过拟合）。
  • 噪声方差 \(\sigma_n^2\)：影响模型对噪声的敏感度。
  • 优化后的超参数可使GPR在拟合数据与泛化能力间取得平衡。
高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的超参数优化方法 题目描述 高斯过程回归（GPR）是一种非参数贝叶斯模型，常用于回归任务。其核心是通过高斯过程先验定义函数分布，并利用观测数据更新后验分布。GPR的性能高度依赖核函数的选择及其超参数（如长度尺度、方差等）的设定。本题要求详解GPR超参数优化的原理与方法，包括边缘似然最大化的推导、梯度计算流程以及优化算法实现步骤。 解题过程 1. 高斯过程回归的基本设定 假设观测数据为 \( \{(x_ i, y_ i)\}_ {i=1}^n \)，其中 \( y_ i = f(x_ i) + \epsilon \)，噪声 \( \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma_ n^2) \)。 高斯过程先验定义为 \( f(\cdot) \sim \mathcal{GP}(m(\cdot), k(\cdot, \cdot)) \)，其中 \( m(\cdot) \) 为均值函数（常设为0），\( k(\cdot, \cdot) \) 为核函数（如径向基函数核）。 核函数超参数记为 \( \theta \)（例如RBF核的参数包括长度尺度 \( l \) 和信号方差 \( \sigma_ f^2 \)），与噪声方差 \( \sigma_ n^2 \) 共同构成待优化的超参数集合 \( \Theta = \{\theta, \sigma_ n^2\} \)。 2. 超参数优化的目标函数：边缘似然 边缘似然（证据）表示数据在给定超参数下的概率： \[ \log p(y | X, \Theta) = -\frac{1}{2} y^T (K + \sigma_ n^2 I)^{-1} y - \frac{1}{2} \log |K + \sigma_ n^2 I| - \frac{n}{2} \log 2\pi \] 其中 \( K \) 是核函数计算的协方差矩阵（\( K_ {ij} = k(x_ i, x_ j; \theta) \)）。 目标是通过最大化边缘似然（或最小化其负对数）找到最优超参数： \[ \Theta^* = \arg\min_ {\Theta} \left[ \frac{1}{2} y^T (K + \sigma_ n^2 I)^{-1} y + \frac{1}{2} \log |K + \sigma_ n^2 I| \right ] \] 边缘似然的三项含义： 第一项（数据拟合项）：衡量模型与数据的匹配程度。 第二项（复杂度惩罚项）：避免过拟合（协方差矩阵行列式随模型复杂度增加而增大）。 第三项：常数项，不影响优化。 3. 梯度计算 为使用梯度下降法，需计算边缘似然对超参数 \( \Theta_ j \) 的偏导。设 \( K_ y = K + \sigma_ n^2 I \)，则： \[ \frac{\partial}{\partial \Theta_ j} \log p(y | X, \Theta) = \frac{1}{2} y^T K_ y^{-1} \frac{\partial K_ y}{\partial \Theta_ j} K_ y^{-1} y - \frac{1}{2} \text{tr}\left( K_ y^{-1} \frac{\partial K_ y}{\partial \Theta_ j} \right) \] 推导要点： 利用矩阵求导公式 \( \frac{\partial K_ y^{-1}}{\partial \Theta_ j} = -K_ y^{-1} \frac{\partial K_ y}{\partial \Theta_ j} K_ y^{-1} \) 和 \( \frac{\partial \log |K_ y|}{\partial \Theta_ j} = \text{tr}(K_ y^{-1} \frac{\partial K_ y}{\partial \Theta_ j}) \)。 计算 \( \frac{\partial K_ y}{\partial \Theta_ j} \) 需根据核函数形式具体求解（例如RBF核对长度尺度 \( l \) 的偏导）。 4. 优化算法步骤 初始化超参数 \( \Theta^{(0)} \)（如使用启发式规则或随机采样）。 迭代更新 （以梯度上升为例）： 计算当前协方差矩阵 \( K_ y \) 及其逆矩阵（通过Cholesky分解保证数值稳定性）。 计算边缘似然梯度 \( \nabla \log p(y | X, \Theta^{(t)}) \)。 更新超参数：\( \Theta^{(t+1)} = \Theta^{(t)} + \eta \nabla \log p(y | X, \Theta^{(t)}) \)（\( \eta \) 为学习率）。 终止条件 ：梯度范数小于阈值或达到最大迭代次数。 注意事项 ： 多起始点策略：避免陷入局部最优。 约束处理：超参数需为正数，可用指数参数化（如 \( l = \exp(\beta) \)）将无约束优化转化为有约束问题。 6. 超参数优化的实际影响 长度尺度 \( l \)：控制函数平滑度（\( l \) 过大导致欠拟合，过小导致过拟合）。 噪声方差 \( \sigma_ n^2 \)：影响模型对噪声的敏感度。 优化后的超参数可使GPR在拟合数据与泛化能力间取得平衡。