SM4分组密码算法的非线性变换τ设计

题目描述
SM4是中国国家密码管理局发布的商用分组密码算法，用于数据加密。其核心组件包括非线性变换τ，它作用于32位字，通过S盒替换和线性变换增强算法的非线性特性。本题要求详细解释τ变换的设计原理、具体步骤及其在SM4中的安全性作用。

解题过程

1. τ变换的定位

   • SM4采用32轮非线性迭代结构，每轮包含轮函数F。τ变换是轮函数的一部分，直接处理输入数据（32位字）。
   • 作用：将输入的32位字拆分为4个字节，分别通过S盒替换，再经线性变换L组合，实现混淆和扩散。

2. τ变换的输入与拆分

   • 输入：32位字（例如X = (x0, x1, x2, x3)，每个xi为8位字节）。
   • 步骤1：将X拆分为4个字节：X = (x0, x1, x2, x3)，其中x0为最高位字节。

3. S盒替换（非线性层）

   • 对每个字节xi进行S盒替换：yi = Sbox(xi)，其中Sbox是8位输入输出的置换表。
     • SM4的S盒设计基于有限域GF(2⁸)的逆运算和仿射变换，具体步骤：
       1. 计算字节xi在GF(2⁸)上的乘法逆（0x00映射到自身）。
       2. 对逆元进行仿射变换：y = A * x⁻¹ + b，其中A为矩阵，b为常数。
   • 示例：若x0 = 0x12，查S盒表得y0 = Sbox(0x12) = 0x5F。
   • 输出：4个字节(y0, y1, y2, y3)。

4. 线性变换L（扩散层）

   • 将S盒输出的4字节组合为32位字Y = (y0, y1, y2, y3)，应用线性变换L：

     L(Y) = Y ⊕ (Y <<< 2) ⊕ (Y <<< 10) ⊕ (Y <<< 18) ⊕ (Y <<< 24)  
     

     其中<<<表示循环左移，⊕为异或运算。
   • 设计目的：通过多位移位异或，使单个字节的变化快速扩散到整个字。
   • 示例：若Y = 0x5F7A3C01，计算步骤：
     1. Y <<< 2 = 0x7D8F0047
     2. Y <<< 10 = 0xE8F0157D
     3. 依次异或，得到最终输出。

5. τ变换的整体流程

   • 输入32位字X → 拆分为4字节 → 每个字节经S盒替换 → 组合为Y → 应用L变换 → 输出32位字Z。
   • 数学表达式：τ(X) = L(Sbox(x0), Sbox(x1), Sbox(x2), Sbox(x3))。

6. 安全性分析

   • 非线性性：S盒提供强非线性，抵抗差分和线性密码分析（SM4的S盒差分均匀度为10，线性逼近概率为2⁻⁴）。
   • 扩散性：L变换确保单个字节变化经过1轮影响至少22位，4轮后扩散到整个分组。
   • 与轮函数集成：τ变换的输出与轮密钥异或后，参与下一轮迭代，形成混淆-扩散网络。

总结
τ变换通过S盒和线性变换的级联，平衡了非线性和扩散效率，是SM4抵抗密码攻击的核心组件。其设计体现了分组密码中代换-置换网络（SPN）的经典思想。