分块矩阵的逆幂法求最小特征值 题目描述 考虑一个大型对称正定矩阵A，我们需要找到其最小的特征值。由于矩阵规模很大，直接计算所有特征值成本过高。逆幂法是一种有效的迭代算法，可以计算矩阵的最小特征值。当矩阵以分块形式存储时，我们需要设计一种高效利用分块结构的逆幂法实现。 解题过程 1. 逆幂法基本原理 逆幂法的核心思想基于以下数学原理：如果λ是A的特征值，那么1/λ是A⁻¹的特征值。因此，A的最小特征值对应A⁻¹的最大特征值。我们可以对A⁻¹应用幂迭代来找到A的最小特征值。 迭代公式：xₖ₊₁ = A⁻¹xₖ / ||A⁻¹xₖ|| 2. 分块矩阵的特殊处理 当A以分块形式存储时，直接求逆A⁻¹是不现实的。我们需要解线性方程组： 在每一步迭代中，我们需要计算y = A⁻¹xₖ，这等价于解线性方程组Ay = xₖ。 由于A是对称正定的，我们可以使用分块Cholesky分解来高效求解。 3. 分块Cholesky分解 将A分块为： A = [ A₁₁ A₁₂; A₁₂ᵀ A₂₂ ] 其中A₁₁是领先主子矩阵。 分块Cholesky分解为： A = LLᵀ，其中L = [ L₁₁ 0; L₂₁ L₂₂ ] L₁₁L₁₁ᵀ = A₁₁ L₂₁ = A₂₁L₁₁⁻ᵀ L₂₂L₂₂ᵀ = A₂₂ - L₂₁L₂₁ᵀ 4. 分块求解过程 对于方程组Ay = xₖ： 前代：解Lz = xₖ 回代：解Lᵀy = z 由于L是分块下三角矩阵，前代过程可以分块进行： 解L₁₁z₁ = xₖ₁ 计算z₂ = (xₖ₂ - L₂₁z₁)/L₂₂ 回代过程类似，但针对上三角矩阵Lᵀ。 5. 完整算法步骤 初始化：随机生成初始向量x₀，满足||x₀|| = 1 对k = 0, 1, 2, ...直到收敛： a. 解方程组Ayₖ = xₖ（使用分块Cholesky分解） b. 标准化：xₖ₊₁ = yₖ / ||yₖ|| c. 计算Rayleigh商估计：λₖ₊₁ = xₖ₊₁ᵀAxₖ₊₁ d. 检查收敛条件：||Axₖ₊₁ - λₖ₊₁xₖ₊₁|| < ε 6. 收敛性分析 逆幂法具有线性收敛速度，收敛因子为|λ₂/λ₁|，其中λ₁是最小特征值，λ₂是次小特征值。当最小特征值与其他特征值分离较好时，收敛很快。 7. 实际实现考虑 分块大小选择需要平衡计算效率和数值稳定性 对于病态矩阵，可能需要预处理技术 内存使用可以通过分块存储优化