高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的应用
题目描述
计算积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sin(x) \, dx\)。这类积分在物理和工程中常见（如阻尼振荡模型），其被积函数 \(f(x) = e^{-x} \sin(x)\) 在无穷区间上具有指数衰减和振荡特性。要求利用高斯-拉盖尔求积公式高效计算该积分，并分析节点数对精度的影响。
解题过程
1. 问题分析与高斯-拉盖尔公式的适配性
- 积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 对应拉盖尔多项式正交化所依赖的权函数。
- 高斯-拉盖尔求积公式的直接形式为：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(x_i), \]
这里 \(x_i\) 是 \(n\) 次拉盖尔多项式的根（节点），\(w_i\) 为对应权重。
- 本问题中 \(g(x) = \sin(x)\)，因此可直接应用公式：
\[ I \approx \sum_{i=1}^{n} w_i \sin(x_i). \]
2. 节点与权重的计算
- 拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 由递推关系生成：
\[ L_0(x) = 1, \quad L_1(x) = 1 - x, \quad L_{k+1}(x) = \frac{(2k+1-x)L_k(x) - kL_{k-1}(x)}{k+1}. \]
- 节点 \(x_i\) 是 \(L_n(x) = 0\) 的根，需通过数值方法（如牛顿迭代法）求解。
- 权重公式为：
\[ w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}. \]
- 实际应用提示：节点和权重通常查表获得，避免重复计算。例如 \(n=2\) 时：
\(x_1 \approx 0.585786, \ x_2 \approx 3.414214\);
\(w_1 \approx 0.853553, \ w_2 \approx 0.146447\).
3. 数值计算示例（以 \(n=2\) 为例）
- 代入公式：
\[ I \approx w_1 \sin(x_1) + w_2 \sin(x_2) = 0.853553 \cdot \sin(0.585786) + 0.146447 \cdot \sin(3.414214). \]
- 计算得：
\(\sin(0.585786) \approx 0.552396, \quad \sin(3.414214) \approx -0.285237\)，
\[ I \approx 0.853553 \times 0.552396 + 0.146447 \times (-0.285237) \approx 0.471 - 0.0417 = 0.4293. \]
- 解析解为 \(I = \frac{1}{2} = 0.5\)，相对误差约 14.14%。说明 \(n=2\) 时精度不足。
4. 节点数增加对精度的影响
- 增加节点数 \(n\) 可提升精度。例如 \(n=5\) 时部分节点与权重为：
\(x_1 \approx 0.26356, w_1 \approx 0.521756\);
\(x_5 \approx 5.31608, w_5 \approx 0.002711\)。 - 高阶节点权重极小，对振荡函数 \(\sin(x)\) 的贡献小，但低阶节点能更密地采样衰减区域（\(x \in [0,5]\)），提高精度。
- \(n=10\) 时误差可降至 \(10^{-6}\) 量级。
5. 振荡函数的特殊处理建议
- 若振荡频率极高（如 \(\sin(kx), k \gg 1\)），需显著增加 \(n\) 以保证节点覆盖振荡周期。
- 替代方案：结合变量替换或专用振荡积分方法（如菲洛宁科方法），但高斯-拉盖尔公式在本例中已足够有效。
总结
高斯-拉盖尔公式通过节点和权重将无穷积分转化为有限和，尤其适用于指数衰减型函数。对于振荡衰减函数，需平衡节点数与计算成本，通常 \(n \geq 10\) 即可达到工程精度要求。