高斯过程回归（Gaussian Process Regression）的超参数优化方法

题目描述
高斯过程回归（GPR）是一种非参数贝叶斯模型，其预测结果以概率分布形式呈现。GPR的性能高度依赖超参数（如核函数的长度尺度、方差等），这些参数无法通过模型直接学习，需通过优化边际似然函数来确定。本题要求详细讲解GPR超参数优化的原理、目标函数构建及梯度下降求解过程。

解题过程

1. 超参数的作用与类型
   • GPR的超参数包括核函数参数（如径向基函数核的长度尺度\(l\)和方差\(\sigma_f^2\)）以及噪声方差\(\sigma_n^2\)。
   • 例如，对于RBF核：

\[ k(x_i, x_j) = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2l^2}\right) + \sigma_n^2 \delta_{ij} \]

 其中$\delta_{ij}$是指示函数（$i=j$时为1，否则为0）。  

• 超参数影响函数的平滑度、波动幅度和噪声容忍度。

2. 优化目标：边际似然函数
   • 假设训练数据\(\mathbf{X}, \mathbf{y}\)服从多元高斯分布\(\mathbf{y} \sim \mathcal{N}(0, K(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + \sigma_n^2 I)\)，其对数边际似然为：

\[ \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{X}, \theta) = -\frac{1}{2} \mathbf{y}^T (K + \sigma_n^2 I)^{-1} \mathbf{y} - \frac{1}{2} \log |K + \sigma_n^2 I| - \frac{n}{2} \log 2\pi \]

 其中$\theta = (l, \sigma_f^2, \sigma_n^2)$为超参数，$K$是核矩阵。  

• 第一项是数据拟合项，第二项是模型复杂度惩罚项，第三项是常数。

3. 梯度计算
   • 为使用梯度下降法，需计算对数边际似然对超参数\(\theta_j\)的偏导：

\[ \frac{\partial}{\partial \theta_j} \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{X}, \theta) = \frac{1}{2} \mathbf{y}^T K^{-1} \frac{\partial K}{\partial \theta_j} K^{-1} \mathbf{y} - \frac{1}{2} \text{tr}\left(K^{-1} \frac{\partial K}{\partial \theta_j}\right) \]

• 以RBF核的\(l\)为例：

\[ \frac{\partial k}{\partial l} = \sigma_f^2 \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2l^2}\right) \cdot \frac{\|x_i - x_j\|^2}{l^3} \]

 其他超参数的梯度类似计算。

4. 优化算法步骤
   • 初始化：随机设置超参数初值（如\(l=1.0, \sigma_f^2=1.0, \sigma_n^2=0.1\)）。
   • 迭代更新：
     • 计算当前核矩阵\(K\)及其逆矩阵（可用Cholesky分解避免数值不稳定）。
     • 计算对数边际似然和梯度。
     • 使用梯度上升或优化器（如L-BFGS）更新超参数：

\[ \theta_{\text{new}} = \theta_{\text{old}} + \alpha \nabla_\theta \log p(\mathbf{y} \mid \mathbf{X}, \theta) \]

   其中$\alpha$为学习率。  

• 终止条件：当梯度范数小于阈值或达到最大迭代次数时停止。

5. 注意事项
   • 需避免陷入局部最优：多次随机初始化并选择最优结果。
   • 核矩阵求逆的复杂度为\(O(n^3)\)，大数据集需用近似方法（如随机傅里叶特征）。
   • 超参数可能需约束（如正值），可通过取对数后优化或使用约束优化器。

总结
GPR的超参数优化通过最大化对数边际似然，平衡拟合优度与模型复杂度，利用梯度下降高效搜索参数空间，最终提升模型预测的准确性与泛化能力。