排序算法之：循环不变式在二分插入排序中的正确性证明 题目描述： 二分插入排序是插入排序的优化版本，它通过二分查找来确定新元素应该插入的位置，从而减少比较次数。本题目要求你理解二分插入排序的算法步骤，并学习如何使用循环不变式来严格证明其正确性。循环不变式是一种用于证明算法正确性的重要技术，它帮助我们在循环的每次迭代前后明确必须保持为真的条件。 解题过程： 算法回顾：二分插入排序 基本思想：将数组分为已排序部分（初始时仅含第一个元素）和未排序部分。对于每个未排序元素，使用二分查找在已排序部分找到其正确位置，然后插入。 具体步骤： 从第二个元素开始（索引 i = 1），遍历到数组末尾。 对于当前元素 key = arr[ i]，在已排序部分 arr[ 0..i-1] 中使用二分查找找到插入位置 pos，使得所有 arr[ 0..pos-1] ≤ key < arr[ pos..i-1 ]。 将 arr[ pos..i-1 ] 的元素向右移动一位，腾出位置。 将 key 放入 arr[ pos ]。 示例：数组 [ 5, 2, 4, 6, 1, 3 ] i=1: key=2，在 [ 5] 中二分查找得 pos=0，移动后 [ 2, 5, 4, 6, 1, 3 ] i=2: key=4，在 [ 2,5] 中二分查找得 pos=1，移动后 [ 2, 4, 5, 6, 1, 3 ] 继续直至完全排序。 循环不变式的定义 循环不变式是针对算法中的循环所设计的一个条件，它在循环开始前、每次迭代后以及循环结束后都必须为真。 对于二分插入排序的外层循环（索引 i 从 1 到 n-1），我们定义循环不变式如下： 不变式内容 ：在每次迭代开始时，子数组 arr[ 0..i-1 ] 始终是原数组前 i 个元素的已排序版本。 初始状态（i=1） ：子数组 arr[ 0..0 ] 仅含一个元素，自然有序，不变式成立。 保持状态 ：假设第 k 次迭代（i=k）前不变式成立，即 arr[ 0..k-1] 已排序。我们处理 arr[ k ]： 二分查找确保找到的位置 pos 满足 arr[ 0..pos-1] ≤ key < arr[ pos..k-1 ]。 移动元素后，arr[ pos] 被腾出，插入 key 后，arr[ 0..pos] 保持有序（因 arr[ pos-1] ≤ key），且 arr[ pos+1..k] 也有序（因 key < arr[ pos+1] 且原 arr[ pos..k-1 ] 已排序）。 因此，迭代后 arr[ 0..k ] 有序，不变式保持。 终止状态 ：当 i=n 时，循环结束，arr[ 0..n-1 ] 有序，算法正确。 二分查找的正确性保证 二分查找的循环不变式：在已排序部分 arr[ low..high] 中，始终保持 arr[ low-1] ≤ key < arr[ high+1 ]（边界需特殊处理）。 通过不断调整 low 和 high，最终 low > high，此时插入位置为 low，确保 key 插入后局部有序。 边界条件与细节 空数组或单元素数组：循环不执行或直接满足不变式。 重复元素：二分查找需保证稳定性，通常约定查找右边界或左边界，本例中我们使用查找第一个大于 key 的位置，以保持稳定性。 移动元素：从 i-1 开始向左移动到 pos，避免覆盖。 通过逐步应用循环不变式，我们严格证明了二分插入排序的正确性，包括其优化后的比较效率与稳定性。