多边形三角剖分的最低得分问题（边权重和版本）

题目描述：
给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序标记为 v₀, v₁, ..., vₙ₋₁（n ≥ 3）。多边形有 n 条边，边 eᵢ 连接顶点 vᵢ 和 vᵢ₊₁（下标模 n 运算）。每条边 eᵢ 有一个非负权重 wᵢ。将多边形三角剖分（即添加 n-3 条不相交的对角线将多边形分成 n-2 个三角形）后，剖分的分数定义为所有三角形中"三边权重之和"的总和。请计算给定凸多边形三角剖分的最低可能分数。

解题过程：

1. 问题分析：

   • 我们需要将凸多边形划分为三角形，每个三角形由多边形的边或添加的对角线组成。
   • 每个三角形的分数是其三条边的权重之和。
   • 目标是使所有三角形的分数总和最小。

2. 定义状态：

   • 令 dp[i][j] 表示从顶点 i 到顶点 j（包含 i 和 j）的连续子多边形（即顶点 i, i+1, ..., j 形成的多边形）进行三角剖分的最低分数。
   • 注意：子多边形必须至少有三个顶点，即 j ≥ i+2。

3. 状态转移方程：

   • 考虑子多边形 i 到 j，我们选择其中一个顶点 k（i < k < j）与顶点 i 和 j 形成一个三角形 (i, k, j)。
   • 这个三角形将子多边形分成三部分：
     1. 三角形 (i, k, j) 自身，其分数为 wᵢ + wₖ + wⱼ（假设 wᵢ 是边 (i, i+1) 的权重，但这里需要根据顶点重新定义边的权重）。
   • 实际上，边权重应基于顶点：设边 (i, j) 的权重为给定值（如果 i 和 j 是多边形的相邻顶点）或对角线的权重（如果 i 和 j 不相邻）。但题目通常假设对角线权重为 0 或基于顶点距离，这里需明确：分数是三角形三边权重和，而边权重是输入给定的多边形的边的权重。对于对角线，权重可能为 0 或需计算。但标准简化版中，只考虑多边形的边有权重，对角线无权重（即权重 0）。因此，三角形 (i, k, j) 的分数 = w(eᵢ) + w(eₖ) + w(eⱼ) 是不正确的，因为边 eᵢ 是 (i, i+1)，不是三角形边。
   • 修正：多边形的边是给定的，权重对应每条边。在三角剖分中，三角形的边可能是多边形的边或添加的对角线。但题目描述中"三边权重之和"指三角形的三条边的权重之和。如果对角线没有权重（即权重为 0），那么分数仅由多边形的边贡献。但这样问题会退化为只与多边形周长相关？不合理。
   • 重新审题：常见变体是"顶点权重"，但这里是"边权重"。更合理的解释是：每条边（包括多边形的边和对角线）都有一个权重，权重基于顶点索引计算（如权重是顶点索引差的绝对值或其他函数）。但题目未明确给出权重计算规则。假设权重是给定的多边形的边的权重，对角线权重为 0。那么三角形 (i, k, j) 的三边是 (i,k), (k,j), (j,i)。其中：
     • 如果 (i,k) 是多边形的边（即 k = i+1），则权重为 wᵢ；否则是对角线，权重为 0。类似处理 (k,j) 和 (j,i)。
     • 但这样分数会依赖于哪些边是原多边形的边。对于子多边形 i..j，原多边形的边是那些连续顶点之间的边，如 (i,i+1), (i+1,i+2), ..., (j-1,j), 以及 (j,i) 如果 j=i+1？不，对于子多边形，边 (j,i) 不是原多边形的边（除非是整个多边形），而是对角线。
   • 标准模型澄清：在常见问题中，权重通常赋予顶点而非边。但题目明确是"边权重"。因此，我们假设每条边（包括多边形的边和对角线）的权重是已知的或基于顶点计算。为简化，假设权重函数 w(i,j) 对于任意顶点 i 和 j 给出边 (i,j) 的权重。对于多边形的边，权重是给定的；对于对角线，权重可能为 0 或由顶点决定（如 w(i,j) = |i-j| 或其他）。但题目未指定，因此我们采用通用形式：设 w(i,j) 表示边 (i,j) 的权重。
   • 那么三角形 (i,k,j) 的分数 = w(i,k) + w(k,j) + w(j,i)。
   • 子多边形 i..j 的三角剖分分数 = 三角形 (i,k,j) 的分数 + 子多边形 i..k 的剖分分数 + 子多边形 k..j 的剖分分数。

4. 转移方程：

   • 对于子多边形 i..j，我们选择中间顶点 k（i < k < j），将子多边形划分为：
     • 三角形 (i, k, j)
     • 子多边形 i..k（顶点 i, i+1, ..., k）
     • 子多边形 k..j（顶点 k, k+1, ..., j）
   • 则：dp[i][j] = min_{k from i+1 to j-1} { dp[i][k] + dp[k][j] + w(i,k) + w(k,j) + w(j,i) }
   • 注意：子多边形 i..k 和 k..j 必须至少是三角形，即 k ≥ i+2 和 j ≥ k+2？不，当子多边形只有两个边时（即三个顶点），它本身就是一个三角形，不需要进一步划分。因此基础情况是当 j = i+2 时，子多边形是三角形 (i, i+1, i+2)，其分数 = w(i,i+1) + w(i+1,i+2) + w(i+2,i)。

5. 基础情况：

   • 当 j = i+2 时（三个顶点）：dp[i][j] = w(i,i+1) + w(i+1,i+2) + w(i+2,i)
   • 当 j ≤ i+1 时，子多边形无效，dp[i][j] = 0。

6. 计算顺序：

   • 按子多边形长度递增顺序计算：长度 L 从 3 到 n（顶点数），即 L = j-i+1，L 从 3 到 n。
   • 对于每个长度 L，枚举起始点 i，计算 j = i + L - 1。
   • 对于每个 i 和 j，枚举中间点 k（i < k < j）。

7. 最终答案：

   • 整个多边形对应 dp[0][n-1]，因为顶点是 0 到 n-1。

8. 示例（简化）：

   • 假设 n=4，顶点 0,1,2,3，边权重 w(0,1)=1, w(1,2)=2, w(2,3)=3, w(3,0)=4。对角线权重假设为 0（或给定）。
   • 可能剖分：对角线 (1,3) 形成三角形 (0,1,3) 和 (1,2,3)。分数 = [w(0,1)+w(1,3)+w(3,0)] + [w(1,2)+w(2,3)+w(3,1)] = [1+0+4] + [2+3+0] = 5+5=10。
   • 或对角线 (0,2) 形成三角形 (0,1,2) 和 (0,2,3)。分数 = [1+2+0] + [0+3+4] = 3+7=10。
   • dp[0][3] = min{ dp[0][1]? 不，需用转移：k=1 或 k=2。
     • k=1: dp[0][1] 无效（只有两个顶点），dp[1][3] 是三角形 (1,2,3) 分数=2+3+0=5？但需基础情况：dp[0][1] 和 dp[1][3] 不直接定义。正确计算：
       • 对于子多边形 0..3，k=1: 三角形 (0,1,3) 分数=w(0,1)+w(1,3)+w(3,0)=1+0+4=5；子多边形 0..1 无效（分数0），子多边形 1..3 是三角形 (1,2,3) 分数=w(1,2)+w(2,3)+w(3,1)=2+3+0=5；总分=5+0+5=10。
       • k=2: 三角形 (0,2,3) 分数=w(0,2)+w(2,3)+w(3,0)=0+3+4=7；子多边形 0..2 是三角形 (0,1,2) 分数=1+2+0=3；子多边形 2..3 无效；总分=7+3+0=10。
     • 因此 min=10。

9. 复杂度：

   • 状态数 O(n²)，每个状态枚举 k O(n) 次，总 O(n³)。

总结：这个问题的核心是通过选择中间顶点将多边形划分为更小的子多边形，利用动态规划逐步求解最优剖分。关键点是正确定义权重函数和基础情况。