高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的应用

字数 2078 2025-11-04 20:47:20

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的应用

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，其中被积函数在端点 \(x = \pm 1\) 处具有奇异性（例如分母包含 \(\sqrt{1-x^2}\) 导致积分权重函数在端点发散），但 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 1]\) 上光滑。要求利用高斯-切比雪夫求积公式高效且精确地求解此类积分。

解题过程

问题分析
- 积分中的权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在端点 \(x = \pm 1\) 处趋于无穷，但积分本身可能收敛（例如当 \(f(x)\) 在端点有界时）。
- 直接使用普通数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）在奇异性附近会失效，而高斯-切比雪夫公式专为此类带权积分设计。
高斯-切比雪夫公式原理
- 公式形式：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \]

节点为切比雪夫多项式 \(T_n(x)\) 的零点：

\[ x_k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}, \quad k=1,2,\dots,n \]

所有权重相等： \(w_k = \frac{\pi}{n}\)。
该公式对次数小于 \(2n\) 的多项式精确成立。

应用步骤
- 步骤1：确认积分匹配权函数
  检查积分是否满足 \(\int_{-1}^{1} f(x) w(x) \, dx\) 形式，其中 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。若积分区间或权函数不匹配，需先进行变量变换（见后续说明）。
- 步骤2：选择节点数 \(n\)
  根据精度要求选择 \(n\)。通常从较小的 \(n\)（如 \(n=10\)）开始测试，逐步增加 \(n\) 直至结果收敛。
- 步骤3：计算节点和函数值
  计算节点 \(x_k = \cos \left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right)\)，并求 \(f(x_k)\)。
- 步骤4：加权求和
  代入公式：

\[ I_n = \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \]

步骤5：误差控制
通过比较不同 \(n\) 的结果（如 \(I_n\) 与 \(I_{2n}\)）估计误差。若误差不满足要求，增大 \(n\) 重复计算。

示例计算
设 \(f(x) = x^2 + 1\)，计算 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)。
- 解析解：利用对称性和变量替换 \(x = \sin\theta\)，可得 \(I = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71239\)。
- 数值解（取 \(n=4\)）：
  节点：

\[ x_1 = \cos\frac{\pi}{8} \approx 0.9239, \quad x_2 = \cos\frac{3\pi}{8} \approx 0.3827, \quad x_3 = \cos\frac{5\pi}{8} \approx -0.3827, \quad x_4 = \cos\frac{7\pi}{8} \approx -0.9239 \]

 函数值：

\[ f(x_1) \approx 1.8536, \quad f(x_2) \approx 1.1464, \quad f(x_3) \approx 1.1464, \quad f(x_4) \approx 1.8536 \]

 求和：

\[ I_4 = \frac{\pi}{4} (1.8536 + 1.1464 + 1.1464 + 1.8536) = \frac{\pi}{4} \times 6.0000 \approx 4.71239 \]

 与解析解完全一致（因被积函数为二次多项式，$ n=2 $ 即精确）。

一般化技巧
- 若积分区间为 \([a,b]\)，需通过线性变换 \(x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\) 映射到 \([-1,1]\)，并调整权函数。
- 若权函数为其他形式（如 \(\sqrt{1-x^2}\)），需选用对应的高斯公式（如第二类切比雪夫公式）。

总结
高斯-切比雪夫求积公式通过特定节点和等权重设计，天然处理端点奇异性，避免直接计算奇异点。其高效性源于正交多项式的理论支撑，适用于物理和工程中的带权积分问题。

高斯-切比雪夫求积公式在带端点奇异性函数积分中的应用题目描述计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，其中被积函数在端点 \( x = \pm 1 \) 处具有奇异性（例如分母包含 \(\sqrt{1-x^2}\) 导致积分权重函数在端点发散），但 \( f(x) \) 在区间 \([ -1, 1 ]\) 上光滑。要求利用高斯-切比雪夫求积公式高效且精确地求解此类积分。解题过程问题分析积分中的权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 在端点 \( x = \pm 1 \) 处趋于无穷，但积分本身可能收敛（例如当 \( f(x) \) 在端点有界时）。直接使用普通数值积分方法（如牛顿-科特斯公式）在奇异性附近会失效，而高斯-切比雪夫公式专为此类带权积分设计。高斯-切比雪夫公式原理公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f\left( \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \] 节点为切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \) 的零点： \[ x_ k = \cos \frac{(2k-1)\pi}{2n}, \quad k=1,2,\dots,n \] 所有权重相等： \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。该公式对次数小于 \( 2n \) 的多项式精确成立。应用步骤步骤1：确认积分匹配权函数检查积分是否满足 \( \int_ {-1}^{1} f(x) w(x) \, dx \) 形式，其中 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)。若积分区间或权函数不匹配，需先进行变量变换（见后续说明）。步骤2：选择节点数 \( n \) 根据精度要求选择 \( n \)。通常从较小的 \( n \)（如 \( n=10 \)）开始测试，逐步增加 \( n \) 直至结果收敛。步骤3：计算节点和函数值计算节点 \( x_ k = \cos \left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \)，并求 \( f(x_ k) \)。步骤4：加权求和代入公式： \[ I_ n = \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^{n} f(x_ k) \] 步骤5：误差控制通过比较不同 \( n \) 的结果（如 \( I_ n \) 与 \( I_ {2n} \)）估计误差。若误差不满足要求，增大 \( n \) 重复计算。示例计算设 \( f(x) = x^2 + 1 \)，计算 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{x^2+1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)。解析解：利用对称性和变量替换 \( x = \sin\theta \)，可得 \( I = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71239 \)。数值解（取 \( n=4 \)）：节点： \[ x_ 1 = \cos\frac{\pi}{8} \approx 0.9239, \quad x_ 2 = \cos\frac{3\pi}{8} \approx 0.3827, \quad x_ 3 = \cos\frac{5\pi}{8} \approx -0.3827, \quad x_ 4 = \cos\frac{7\pi}{8} \approx -0.9239 \] 函数值： \[ f(x_ 1) \approx 1.8536, \quad f(x_ 2) \approx 1.1464, \quad f(x_ 3) \approx 1.1464, \quad f(x_ 4) \approx 1.8536 \] 求和： \[ I_ 4 = \frac{\pi}{4} (1.8536 + 1.1464 + 1.1464 + 1.8536) = \frac{\pi}{4} \times 6.0000 \approx 4.71239 \] 与解析解完全一致（因被积函数为二次多项式，\( n=2 \) 即精确）。一般化技巧若积分区间为 \([ a,b]\)，需通过线性变换 \( x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2} \) 映射到 \([ -1,1 ]\)，并调整权函数。若权函数为其他形式（如 \( \sqrt{1-x^2} \)），需选用对应的高斯公式（如第二类切比雪夫公式）。总结高斯-切比雪夫求积公式通过特定节点和等权重设计，天然处理端点奇异性，避免直接计算奇异点。其高效性源于正交多项式的理论支撑，适用于物理和工程中的带权积分问题。