龙贝格积分法在带峰值函数积分中的应用

字数 2436 2025-11-04 20:47:20

龙贝格积分法在带峰值函数积分中的应用

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} \, dx\)。该被积函数在 \(x=1\) 处有一个尖锐的峰值（峰值宽度由分母中的 0.01 控制），若使用均匀步长的积分方法（如复合梯形公式）可能因采样不足导致精度不足。要求利用龙贝格积分法的外推特性，在峰值区域自适应加密节点，以提高计算效率。

解题过程

问题分析
- 被积函数 \(f(x) = \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01}\) 在 \(x=1\) 处取得最大值 100，峰值宽度约 \(2\sqrt{0.01} = 0.2\)（由分母参数决定）。
- 若直接使用复合梯形公式，需极细的步长才能捕捉峰值，计算量大。
- 龙贝格积分法通过逐次二分区间、外推加速，能自然在峰值区域加密节点，且利用理查德森外推减少误差。
龙贝格积分法回顾
- 定义 \(R(k,0)\) 为将区间 \([a,b]\) 等分为 \(2^k\) 个子区间后的复合梯形公式结果（\(k=0,1,2,\dots\)）。
- 外推公式：

\[ R(k,m) = \frac{4^m R(k,m-1) - R(k-1,m-1)}{4^m - 1}, \quad m=1,2,\dots,k \]

最终结果 \(R(k,k)\) 是精度为 \(O(h^{2k+2})\) 的近似值。

峰值函数的处理策略
- 龙贝格法通过逐次二分自动在函数变化剧烈处增加节点密度（因节点分布均匀）。
- 外推过程利用低精度结果消除误差主项，尤其适合峰值函数因采样不足导致的系统误差。
计算步骤（以本题为例）
步骤 1：初始化
- 区间 \([a,b] = [0,2]\)，计算端点函数值：

\[ f(0) = \frac{1}{(0-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{1.01} \approx 0.9901, \quad f(2) = \frac{1}{(2-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{1.01} \approx 0.9901 \]

\[ R(0,0) = \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)] = \frac{2}{2} [0.9901 + 0.9901] \approx 1.9802 \]

步骤 2：第一次二分（k=1）

新增节点 \(x=1\)（峰值点），计算 \(f(1) = \frac{1}{0.01} = 100\)：

\[ R(1,0) = \frac{1}{2} R(0,0) + \frac{b-a}{2} f(1) = 0.5 \times 1.9802 + 1 \times 100 \approx 100.9901 \]

外推：

\[ R(1,1) = \frac{4 R(1,0) - R(0,0)}{3} \approx \frac{4 \times 100.9901 - 1.9802}{3} \approx 134.6267 \]

步骤 3：第二次二分（k=2）

新增节点 \(x=0.5, 1.5\)，计算：

\[ f(0.5) = \frac{1}{(0.5-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{0.26} \approx 3.8462, \quad f(1.5) = \frac{1}{(1.5-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{0.26} \approx 3.8462 \]

\[ R(2,0) = \frac{1}{2} R(1,0) + \frac{b-a}{4} [f(0.5) + f(1.5)] \approx 0.5 \times 100.9901 + 0.5 \times (3.8462 + 3.8462) \approx 56.3153 \]

外推：

\[ R(2,1) = \frac{4 R(2,0) - R(1,0)}{3} \approx \frac{4 \times 56.3153 - 100.9901}{3} \approx 41.4237 \]

\[ R(2,2) = \frac{16 R(2,1) - R(1,1)}{15} \approx \frac{16 \times 41.4237 - 134.6267}{15} \approx 38.6354 \]

步骤 4：第三次二分（k=3）

新增节点 \(x=0.25, 0.75, 1.25, 1.75\)，计算函数值并更新 \(R(3,0)\)，再逐层外推。
迭代直至相邻对角线元素 \(|R(k,k) - R(k-1,k-1)| < \epsilon\)（例如 \(\epsilon = 10^{-6}\)）。

结果分析
- 精确值（解析解）：

\[ I = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} dx = 10 \left[ \arctan(10(x-1)) \right]_{0}^{2} \approx 10 \times (1.4711 - (-1.4711)) = 29.422 \]

初始近似 \(R(0,0) = 1.98\) 因未采样峰值严重低估，二分一次后 \(R(1,0) = 100.99\) 因过度依赖峰值点高估，外推后逐步收敛至真值。
龙贝格法通过外推抑制峰值区域的采样误差，最终在 \(k=5\) 或 \(k=6\) 时可得高精度结果。

关键点总结

龙贝格法利用均匀二分在峰值处自动加密节点，避免手动调整步长。
外推技术将低精度结果组合为高阶精度，有效应对峰值导致的误差波动。
对于更尖锐的峰值（如分母 0.01 改为 0.001），需增加二分次数以保证节点覆盖峰值宽度。

龙贝格积分法在带峰值函数积分中的应用题目描述计算定积分 \( I = \int_ {0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} \, dx \)。该被积函数在 \( x=1 \) 处有一个尖锐的峰值（峰值宽度由分母中的 0.01 控制），若使用均匀步长的积分方法（如复合梯形公式）可能因采样不足导致精度不足。要求利用龙贝格积分法的外推特性，在峰值区域自适应加密节点，以提高计算效率。解题过程问题分析被积函数 \( f(x) = \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} \) 在 \( x=1 \) 处取得最大值 100，峰值宽度约 \( 2\sqrt{0.01} = 0.2 \)（由分母参数决定）。若直接使用复合梯形公式，需极细的步长才能捕捉峰值，计算量大。龙贝格积分法通过逐次二分区间、外推加速，能自然在峰值区域加密节点，且利用理查德森外推减少误差。龙贝格积分法回顾定义 \( R(k,0) \) 为将区间 \( [ a,b ] \) 等分为 \( 2^k \) 个子区间后的复合梯形公式结果（\( k=0,1,2,\dots \)）。外推公式： \[ R(k,m) = \frac{4^m R(k,m-1) - R(k-1,m-1)}{4^m - 1}, \quad m=1,2,\dots,k \] 最终结果 \( R(k,k) \) 是精度为 \( O(h^{2k+2}) \) 的近似值。峰值函数的处理策略龙贝格法通过逐次二分自动在函数变化剧烈处增加节点密度（因节点分布均匀）。外推过程利用低精度结果消除误差主项，尤其适合峰值函数因采样不足导致的系统误差。计算步骤（以本题为例）步骤 1：初始化区间 \( [ a,b] = [ 0,2 ] \)，计算端点函数值： \[ f(0) = \frac{1}{(0-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{1.01} \approx 0.9901, \quad f(2) = \frac{1}{(2-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{1.01} \approx 0.9901 \] \[ R(0,0) = \frac{b-a}{2} [ f(a) + f(b)] = \frac{2}{2} [ 0.9901 + 0.9901 ] \approx 1.9802 \] 步骤 2：第一次二分（k=1）新增节点 \( x=1 \)（峰值点），计算 \( f(1) = \frac{1}{0.01} = 100 \)： \[ R(1,0) = \frac{1}{2} R(0,0) + \frac{b-a}{2} f(1) = 0.5 \times 1.9802 + 1 \times 100 \approx 100.9901 \] 外推： \[ R(1,1) = \frac{4 R(1,0) - R(0,0)}{3} \approx \frac{4 \times 100.9901 - 1.9802}{3} \approx 134.6267 \] 步骤 3：第二次二分（k=2）新增节点 \( x=0.5, 1.5 \)，计算： \[ f(0.5) = \frac{1}{(0.5-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{0.26} \approx 3.8462, \quad f(1.5) = \frac{1}{(1.5-1)^2 + 0.01} = \frac{1}{0.26} \approx 3.8462 \] \[ R(2,0) = \frac{1}{2} R(1,0) + \frac{b-a}{4} [ f(0.5) + f(1.5) ] \approx 0.5 \times 100.9901 + 0.5 \times (3.8462 + 3.8462) \approx 56.3153 \] 外推： \[ R(2,1) = \frac{4 R(2,0) - R(1,0)}{3} \approx \frac{4 \times 56.3153 - 100.9901}{3} \approx 41.4237 \] \[ R(2,2) = \frac{16 R(2,1) - R(1,1)}{15} \approx \frac{16 \times 41.4237 - 134.6267}{15} \approx 38.6354 \] 步骤 4：第三次二分（k=3）新增节点 \( x=0.25, 0.75, 1.25, 1.75 \)，计算函数值并更新 \( R(3,0) \)，再逐层外推。迭代直至相邻对角线元素 \( |R(k,k) - R(k-1,k-1)| < \epsilon \)（例如 \( \epsilon = 10^{-6} \)）。结果分析精确值（解析解）： \[ I = \int_ {0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} dx = 10 \left[ \arctan(10(x-1)) \right]_ {0}^{2} \approx 10 \times (1.4711 - (-1.4711)) = 29.422 \] 初始近似 \( R(0,0) = 1.98 \) 因未采样峰值严重低估，二分一次后 \( R(1,0) = 100.99 \) 因过度依赖峰值点高估，外推后逐步收敛至真值。龙贝格法通过外推抑制峰值区域的采样误差，最终在 \( k=5 \) 或 \( k=6 \) 时可得高精度结果。关键点总结龙贝格法利用均匀二分在峰值处自动加密节点，避免手动调整步长。外推技术将低精度结果组合为高阶精度，有效应对峰值导致的误差波动。对于更尖锐的峰值（如分母 0.01 改为 0.001），需增加二分次数以保证节点覆盖峰值宽度。