分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在低秩更新求逆中的应用 我将为你讲解分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式在低秩更新求逆中的应用，这是一个在线性代数中非常实用的技术。 问题描述 假设我们已经有一个矩阵A的逆矩阵A⁻¹，现在A发生了低秩更新，变成了新矩阵B = A + UVᵀ，其中U是n×k矩阵，V是n×k矩阵（k远小于n）。我们需要高效地计算B⁻¹，而不需要从头开始重新求逆。 解题过程 第一步：理解问题的背景和意义 当矩阵A的维数n很大时，直接计算A⁻¹的计算复杂度是O(n³)。如果A只是发生了小的修改（低秩更新），重新计算逆矩阵的计算代价很高。Sherman-Morrison-Woodbury公式允许我们利用已知的A⁻¹来高效计算B⁻¹，计算复杂度降低到O(k³ + k²n)，当k < < n时，这比O(n³)高效得多。 第二步：推导Sherman-Morrison-Woodbury公式 我们从恒等式出发： B = A + UVᵀ 假设A和B都是可逆矩阵，我们要求B⁻¹。 考虑等式：B⁻¹ = (A + UVᵀ)⁻¹ 通过矩阵求逆引理，我们可以得到： (A + UVᵀ)⁻¹ = A⁻¹ - A⁻¹U(I + VᵀA⁻¹U)⁻¹VᵀA⁻¹ 其中I是k×k单位矩阵。 推导过程： 验证这个公式的正确性，我们计算B·B⁻¹： B·B⁻¹ = (A + UVᵀ)[ A⁻¹ - A⁻¹U(I + VᵀA⁻¹U)⁻¹VᵀA⁻¹ ] = I + UVᵀA⁻¹ - U(I + VᵀA⁻¹U)⁻¹VᵀA⁻¹ - UVᵀA⁻¹U(I + VᵀA⁻¹U)⁻¹VᵀA⁻¹ = I + UVᵀA⁻¹ - U[ I + VᵀA⁻¹U ](I + VᵀA⁻¹U)⁻¹VᵀA⁻¹ = I + UVᵀA⁻¹ - UVᵀA⁻¹ = I 第三步：分块矩阵视角下的解释 从分块矩阵的角度看，我们可以将原问题表示为： 考虑扩展矩阵：M = [ A, U; Vᵀ, -I ] 通过分块矩阵求逆技术，可以得到相同的结果。这种视角有助于理解公式的几何意义和推广到更一般的情况。 第四步：算法实现步骤 输入：已知A⁻¹，更新矩阵U和V（都是n×k） 计算中间矩阵：M = I + VᵀA⁻¹U（k×k矩阵） 计算M的逆矩阵：M⁻¹ = (I + VᵀA⁻¹U)⁻¹ 计算最终结果：B⁻¹ = A⁻¹ - A⁻¹U M⁻¹ VᵀA⁻¹ 第五步：计算复杂度分析 计算VᵀA⁻¹U：O(k²n) 计算k×k矩阵M的逆：O(k³) 计算A⁻¹U M⁻¹ VᵀA⁻¹：O(k²n) 总复杂度：O(k³ + k²n) 当k < < n时，这远优于直接求逆的O(n³)。 第六步：特殊情况 当k=1时，这就是经典的Sherman-Morrison公式： (A + uvᵀ)⁻¹ = A⁻¹ - (A⁻¹uvᵀA⁻¹)/(1 + vᵀA⁻¹u) 其中u和v是列向量。 第七步：数值稳定性考虑 在实际计算中，需要注意： 当I + VᵀA⁻¹U接近奇异时，公式可能数值不稳定 需要检查条件数，必要时采用正则化技术 对于大规模问题，可以考虑迭代精化技术提高精度 这个公式在机器学习、优化问题、数值分析等领域有广泛应用，特别是在需要频繁更新矩阵逆的在线学习、卡尔曼滤波等场景中尤为重要。