复合梯形公式的误差分析与步长优化
字数 1722 2025-11-04 20:47:27

复合梯形公式的误差分析与步长优化

题目描述
考虑使用复合梯形公式计算积分 \(I = \int_a^b f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上二阶连续可微。我们需要分析该数值积分方法的截断误差，并探讨如何通过优化步长 \(h\) 来平衡计算效率与精度要求。

解题过程

  1. 复合梯形公式的构造
    • 将积分区间 \([a, b]\) 均匀划分为 \(n\) 个子区间，步长 \(h = \frac{b-a}{n}\)，节点为 \(x_i = a + ih\)（\(i = 0, 1, \dots, n\)）。
    • 在每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上应用梯形公式（即用线性插值函数近似 \(f(x)\) 并积分），再求和得到复合梯形公式：

\[ T_n = h \left[ \frac{f(a)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{f(b)}{2} \right]. \]

  1. 误差分析推导
    • 局部误差：考虑单个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上的梯形公式误差。利用积分中值定理或泰勒展开，可推导出局部截断误差为：

\[ E_i^{\text{local}} = -\frac{f''(\xi_i)}{12} h^3, \quad \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]. \]

  • 全局误差：将 \(n\) 个子区间的局部误差累加，并利用 \(f''(x)\) 的连续性（根据介值定理，存在 \(\eta \in [a, b]\) 使得 \(\sum f''(\xi_i) = n f''(\eta)\)），得到全局误差：

\[ E_n = \sum_{i=1}^n E_i^{\text{local}} = -\frac{b-a}{12} f''(\eta) h^2. \]

  • 结论：复合梯形公式的误差阶为 \(O(h^2)\)，即当 \(h\) 减半时，误差大致缩小为原来的 1/4。
  1. 步长优化策略
    • 精度控制：若要求误差满足 \(|E_n| \leq \varepsilon\)，可解不等式 \(\left| \frac{b-a}{12} M_2 \right| h^2 \leq \varepsilon\)（其中 \(M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|\)），得到步长上界：

\[ h \leq \sqrt{ \frac{12\varepsilon}{(b-a)M_2} }. \]

  • 计算成本权衡：函数求值次数为 \(n+1 \propto 1/h\)。若 \(M_2\) 未知，可采用自适应策略：
    1. 从初始步长 \(h_0\) 开始计算 \(T(h_0)\)。
    2. 将步长减半为 \(h_0/2\)，计算 \(T(h_0/2)\)，利用误差公式近似估计误差 \(|T(h_0) - T(h_0/2)| \approx 3|E(h_0)|\)。
    3. 若估计误差满足精度要求，则停止；否则继续对半分割步长，直至收敛。
  1. 实例验证
    • 以 \(\int_0^1 e^{-x^2} dx\) 为例，取 \(n=4\)（\(h=0.25\)）：

\[ T_4 = 0.25 \left[ \frac{f(0)}{2} + f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + \frac{f(1)}{2} \right] \approx 0.742984. \]

  • 与精确值 0.746824 比较，误差约为 0.00384。若 \(n=8\)（\(h=0.125\)），误差减小至约 0.00096，符合 \(O(h^2)\) 的收敛阶。

总结：复合梯形公式的误差由函数二阶导数和步长共同决定。通过理论误差界或自适应步长调整，可在保证精度的前提下优化计算效率。

复合梯形公式的误差分析与步长优化 题目描述 考虑使用复合梯形公式计算积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 上二阶连续可微。我们需要分析该数值积分方法的截断误差，并探讨如何通过优化步长 \( h \) 来平衡计算效率与精度要求。 解题过程 复合梯形公式的构造 将积分区间 \([ a, b]\) 均匀划分为 \( n \) 个子区间，步长 \( h = \frac{b-a}{n} \)，节点为 \( x_ i = a + ih \)（\( i = 0, 1, \dots, n \)）。 在每个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i ]\) 上应用梯形公式（即用线性插值函数近似 \( f(x) \) 并积分），再求和得到复合梯形公式： \[ T_ n = h \left[ \frac{f(a)}{2} + f(x_ 1) + f(x_ 2) + \dots + f(x_ {n-1}) + \frac{f(b)}{2} \right ]. \] 误差分析推导 局部误差 ：考虑单个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i ]\) 上的梯形公式误差。利用积分中值定理或泰勒展开，可推导出局部截断误差为： \[ E_ i^{\text{local}} = -\frac{f''(\xi_ i)}{12} h^3, \quad \xi_ i \in [ x_ {i-1}, x_ i ]. \] 全局误差 ：将 \( n \) 个子区间的局部误差累加，并利用 \( f''(x) \) 的连续性（根据介值定理，存在 \( \eta \in [ a, b] \) 使得 \( \sum f''(\xi_ i) = n f''(\eta) \)），得到全局误差： \[ E_ n = \sum_ {i=1}^n E_ i^{\text{local}} = -\frac{b-a}{12} f''(\eta) h^2. \] 结论 ：复合梯形公式的误差阶为 \( O(h^2) \)，即当 \( h \) 减半时，误差大致缩小为原来的 1/4。 步长优化策略 精度控制 ：若要求误差满足 \( |E_ n| \leq \varepsilon \)，可解不等式 \( \left| \frac{b-a}{12} M_ 2 \right| h^2 \leq \varepsilon \)（其中 \( M_ 2 = \max_ {x \in [ a,b ]} |f''(x)| \)），得到步长上界： \[ h \leq \sqrt{ \frac{12\varepsilon}{(b-a)M_ 2} }. \] 计算成本权衡 ：函数求值次数为 \( n+1 \propto 1/h \)。若 \( M_ 2 \) 未知，可采用自适应策略： 从初始步长 \( h_ 0 \) 开始计算 \( T(h_ 0) \)。 将步长减半为 \( h_ 0/2 \)，计算 \( T(h_ 0/2) \)，利用误差公式近似估计误差 \( |T(h_ 0) - T(h_ 0/2)| \approx 3|E(h_ 0)| \)。 若估计误差满足精度要求，则停止；否则继续对半分割步长，直至收敛。 实例验证 以 \( \int_ 0^1 e^{-x^2} dx \) 为例，取 \( n=4 \)（\( h=0.25 \)）： \[ T_ 4 = 0.25 \left[ \frac{f(0)}{2} + f(0.25) + f(0.5) + f(0.75) + \frac{f(1)}{2} \right ] \approx 0.742984. \] 与精确值 0.746824 比较，误差约为 0.00384。若 \( n=8 \)（\( h=0.125 \)），误差减小至约 0.00096，符合 \( O(h^2) \) 的收敛阶。 总结 ：复合梯形公式的误差由函数二阶导数和步长共同决定。通过理论误差界或自适应步长调整，可在保证精度的前提下优化计算效率。