移除盒子问题 题目描述 给定一个整数数组 boxes，表示一排盒子，每个盒子上有一个颜色（用整数表示）。每次操作，你可以移除一些连续的相同颜色的盒子，获得 k * k 的分数（k 是移除盒子的数量）。你需要移除所有盒子，并计算你能获得的最大分数。 例如： 输入：boxes = [ 1, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1 ] 输出：23 解释： 一种最优移除顺序： 移除三个连续的 2（颜色2），得分 3* 3 = 9。剩下 [ 1, 3, 3, 4, 3, 1 ] 移除一个 4（颜色4），得分 1* 1 = 1。剩下 [ 1, 3, 3, 3, 1 ] 移除三个连续的 3（颜色3），得分 3* 3 = 9。剩下 [ 1, 1 ] 移除两个连续的 1（颜色1），得分 2* 2 = 4。总得分 9+1+9+4=23 解题过程 这个问题比标准的区间DP更复杂，因为移除中间某个颜色的盒子可能会将两边的同色盒子连接起来，从而影响后续决策。标准区间DP状态dp[ i][ j]（表示区间[ i, j ]的最大得分）不足以解决问题，因为得分依赖于区间外部与区间两端同色的盒子数量。 我们需要引入一个三维状态dp[ i][ j][ k]，表示在区间[ i, j]的基础上，区间左边还有k个与boxes[ i]颜色相同的盒子紧邻着（这k个盒子是之前决策保留下来，准备与区间[ i, j]中与boxes[ i]同色的部分一起移除的）。我们的目标是计算dp[ 0][ n-1][ 0 ]。 状态转移方程 考虑区间[ i, j ]和左侧附加的k个同色盒子。 首先，一种直接策略是直接移除这k个附加盒子以及位置i的盒子（如果区间[ i+1, j]中不再有与boxes[ i]同色的盒子，那么这k+1个盒子可以一起移除）。但更一般的策略是，我们可能希望先移除区间[ i+1, j]中的一些其他盒子，使得区间[ i+1, j]中与boxes[ i ]同色的盒子能连接到一起，从而获得更高分数。 因此，我们遍历区间[ i, j]中所有与boxes[ i]颜色相同的位置m（i <= m <= j），考虑将区间分割。 将区间分成三部分：[ i+1, m-1], [ m, j ], 以及左侧的k个盒子和位置i的盒子。 思路是：我们先独立地处理区间[ i+1, m-1]（这个区间内部移除），这样位置i的盒子、左侧的k个盒子、以及位置m的盒子（它们颜色相同）就可以和区间[ m, j]中可能存在的其他同色盒子连接起来。但是注意，在区间[ m, j ]中，位置m的盒子左侧现在附加的盒子数不再是0，而是k+1（原来的k个加上位置i的盒子）。 但是，我们需要确保位置m是区间[ i, j]中第一个与boxes[ i ]颜色相同的盒子（除了i本身）吗？不，我们需要遍历所有可能的m。 更精确的状态转移： dp[ i][ j][ k] = max( dp[ i][ j][ k], (k+1)* (k+1) + dp[ i+1][ j][ 0] ) 如果直接移除左侧k+1个盒子（i位置以及左侧k个），然后处理剩下的区间[ i+1, j ]。 但是更一般的情况是：我们并不直接移除i位置的盒子，而是希望找到另一个位置m（i < m <= j），且boxes[ m] == boxes[ i]，这样我们可以先处理区间[ i+1, m-1]（这个区间内部移除，不与i连接），然后剩下的区间[ m, j]就和左侧的k+1个盒子（原来的k个加上位置i的盒子）连接起来了。因为boxes[ i]和boxes[ m ]颜色相同。 所以转移方程是： dp[ i][ j][ k] = max( dp[ i][ j][ k], dp[ i+1][ m-1][ 0] + dp[ m][ j][ k+1] ) 对于所有满足 boxes[ m] == boxes[ i] 的 m (i < m <= j) 注意边界情况：当i > j时，区间为空，得分为0。 初始化 当区间长度为1时，即i == j，那么dp[ i][ j][ k] = (k+1)* (k+1)。因为只有一个盒子，加上左侧k个同色盒子，一共k+1个，一起移除得分为(k+1)^2。 计算顺序 由于dp[ i][ j][ k]依赖于dp[ i+1][ m-1][ 0]和dp[ m][ j][ k+1]，其中i <= m <= j，所以我们需要按区间长度从小到大的顺序计算。即先计算所有长度为1的区间，然后长度为2，直到长度为n。 最终答案 dp[ 0][ n-1][ 0 ] 示例推导（简化） 以boxes = [ 1, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1 ]为例，n=9。 我们逐步计算dp[ i][ j][ k ]（这是一个庞大的三维表，这里仅示意关键步骤）。 初始化长度为1的区间：对于每个i，dp[ i][ i][ k ] = (k+1)^2。 计算更长的区间。例如，计算区间[ 2,4]（对应颜色[ 2,2,2 ]）： dp[ 2][ 4][ 0]：直接移除三个2，得分3* 3=9。 如果左侧有k个颜色2的盒子，那么dp[ 2][ 4][ k ] = (k+3)^2。 计算整个区间[ 0,8]时，会考虑各种分割点m，并组合之前计算好的子区间得分。最终dp[ 0][ 8][ 0 ]会计算出最大值23。 通过这种状态定义和转移，我们能够考虑到移除中间盒子使得同色盒子连接起来的情况，从而找到最大得分。这个算法的时间复杂度为O(n^4)（因为i, j, m三层循环，k最大可能为n），空间复杂度为O(n^3)。对于n <=100的问题规模是可行的。