基于格的数字签名算法：BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）的签名生成与验证过程 题目描述 BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）是一种基于格上困难问题（如LWE或环LWE）设计的数字签名算法，以其高效性和抗量子计算攻击能力著称。本题要求详细讲解BLISS签名算法的核心步骤：签名生成与验证过程，包括关键数学操作（如高斯采样、拒绝采样）和安全性设计原理。 解题过程 1. 背景知识 格基础 ：格是欧几里得空间中点的离散集合，由一组基向量生成。格上问题（如最短向量问题SVP）在量子计算下仍被认为是困难的。 BLISS特点 ：通过双模态高斯分布和拒绝采样技术，避免签名泄露私钥信息，同时优化签名大小和计算效率。 2. 密钥生成（前置步骤） BLISS的密钥对生成基于环LWE问题： 私钥 ：由两个短向量 \((s_ 1, s_ 2)\) 组成，其中 \(s_ 1, s_ 2\) 服从离散高斯分布。 公钥 ：计算 \(A = \frac{a}{s_ 1} + s_ 2 \mod q\)，其中 \(a\) 是环上的随机多项式，\(q\) 是大素数模数。 3. 签名生成过程 假设消息为 \(M\)，签名者使用私钥 \((s_ 1, s_ 2)\) 生成签名 \((z_ 1, z_ 2, c)\)： 步骤1：生成候选签名 采样扰动向量 ： 从高斯分布中采样两个短向量 \(y_ 1, y_ 2\)。 计算承诺值 ： 计算 \(u = a \cdot y_ 1 + y_ 2 \mod q\)，其中 \(a\) 是公钥参数。 哈希计算挑战 ： 计算 \(c = H(u \mod 2q, M)\)，其中 \(H\) 是哈希函数，输出为二进制向量。 步骤2：构造签名主体 计算临时签名 ： \(z_ 1 = y_ 1 + (-1)^b \cdot s_ 1 \cdot c\) \(z_ 2 = y_ 2 + (-1)^b \cdot s_ 2 \cdot c\) 其中 \(b\) 是随机选择的比特（0或1），用于实现双模态分布。 步骤3：拒绝采样（防信息泄露） 检查 \(z_ 1, z_ 2\) 是否满足预设的范数边界（如 \(\|z\| < \eta\)，\(\eta\) 为阈值）。 若不满足，则重新从步骤1开始。此步骤确保签名分布独立于私钥，防止侧信道攻击。 步骤4：输出签名 最终签名为三元组 \((z_ 1, z_ 2, c)\)。 4. 签名验证过程 验证者使用公钥 \(A\) 和消息 \(M\) 验证签名 \((z_ 1, z_ 2, c)\)： 步骤1：重计算承诺值 计算 \(u' = a \cdot z_ 1 + z_ 2 - A \cdot c \mod q\)。 注意：根据公钥关系 \(A = a/s_ 1 + s_ 2\)，代入后可化简为 \(u' = a \cdot y_ 1 + y_ 2\)（与签名步骤中的 \(u\) 一致）。 步骤2：哈希比对 计算 \(c' = H(u' \mod 2q, M)\)。 验证 \(c'\) 是否与签名中的 \(c\) 相等。 步骤3：范数检查 检查 \(z_ 1, z_ 2\) 的范数是否小于安全阈值（防止伪造攻击）。 若所有检查通过，则签名有效。 关键设计原理 双模态分布 ：通过随机选择 \(b\) 值，使签名分布对称，增强安全性。 拒绝采样 ：确保签名不泄露私钥的统计信息，解决早期格签名方案（如GGH）的漏洞。 模数优化 ：使用 \(2q\) 约减避免浮点运算，提升效率。 通过以上步骤，BLISS在保证抗量子安全的同时，实现了比RSA或ECDSA更短的签名长度。