并行与分布式系统中的并行前缀和（扫描）算法：工作负载优化（Work-Optimal）并行扫描算法

字数 2027 2025-11-04 11:59:17

并行与分布式系统中的并行前缀和（扫描）算法：工作负载优化（Work-Optimal）并行扫描算法

题目描述
在并行与分布式系统中，前缀和（也称扫描）是一个基础操作。给定一个输入数组 \(A = [a_0, a_1, ..., a_{n-1}]]\)，前缀和操作生成一个输出数组 \(B = [b_0, b_1, ..., b_{n-1}]\)，其中每个元素 \(b_i\) 是 \(a_0\) 到 \(a_i\) 的和（包含性扫描）或 \(a_0\) 到 \(a_{i-1}\) 的和（排他性扫描）。工作负载优化并行扫描算法旨在使用 \(O(n)\) 的总操作量（工作负载）和 \(O(\log n)\) 的时间步数，在 \(p\) 个处理器上高效计算前缀和，避免简单并行方法中的 \(O(n \log n)\) 操作开销。

解题过程

问题分析
- 朴素并行方法（如递归加倍）在 \(O(\log n)\) 时间内完成，但总操作数为 \(O(n \log n)\)，远高于串行算法的 \(O(n)\)，导致工作负载非最优。
- 目标：设计算法在 \(O(\log n)\) 时间步内仅执行 \(O(n)\) 次加法操作，实现工作负载最优（work-efficient）。
算法核心思想：平衡树与反向传播
- 将输入数组视为完全二叉树的叶子节点（若 \(n\) 非 2 的幂，填充虚拟元素 0）。
- 分两阶段：
  - 上扫阶段（Reduce Phase）：自底向上计算子树局部和，存储于内部节点。
  - 下扫阶段（Downsweep Phase）：自顶向下传播前缀和，结合左兄弟节点的累加和。
详细步骤
步骤 1：数据结构准备
- 将数组 \(A\) 映射到平衡二叉树结构，树高 \(h = \lceil \log_2 n \rceil\)。每个节点存储：
  - value：当前子树元素和（上扫阶段计算）。
  - prefix：当前节点的前缀和（下扫阶段计算）。
- 初始化所有叶子节点的 value 为 \(A[i]\)，内部节点的 value 和 prefix 为 0。
步骤 2：上扫阶段（自底向上求和）
- 从叶子层到根层，逐层并行处理：
  - 对于每个内部节点 \(v\)，其 value 等于左孩子 value + 右孩子 value。
  - 示例：节点 \(v\) 的左孩子值为 \(L\)，右孩子值为 \(R\)，则设置 \(v.\text{value} = L + R\)。
  - 时间步数：\(O(\log n)\)，总加法操作数 \(O(n)\)（因二叉树节点数 \(2n-1\)，每节点一次加法）。
步骤 3：下扫阶段（自顶向下传播前缀和）
- 根节点前缀和设为其左孩子值（排他扫描）或自身值（包含扫描）。以排他扫描为例：
  - 根节点：prefix = 0（排他扫描起始）。
  - 从根向下，对每个节点 \(v\) 并行：
    - 左孩子 prefix = \(v.\text{prefix}\)。
    - 右孩子 prefix = \(v.\text{prefix} + \text{左孩子.value}\)。
  - 叶子节点的 prefix 即为最终前缀和结果。
- 时间步数：\(O(\log n)\)，总操作数 \(O(n)\)。
步骤 4：输出构造
- 收集叶子节点的 prefix 值，得到输出数组 \(B\)。对于包含性扫描，将叶子自身的值加到 prefix 上。
示例演算（排他扫描）
输入 \(A = [3, 1, 4, 2]\)（n=4）。
- 上扫阶段：
  叶子层：节点值 [3, 1, 4, 2]。
  父层：左父值=3+1=4，右父值=4+2=6。
  根节点值=4+6=10。
- 下扫阶段：
  根前缀=0。
  左父前缀=0，右父前缀=0+4=4。
  叶子前缀：左叶1=0，左叶2=0+3=3，右叶1=4，右叶2=4+4=8。
  输出 \(B = [0, 3, 4, 8]\)（排他扫描结果）。
工作负载与时间复杂度分析
- 总加法操作数：上扫阶段 \(n-1\) 次，下扫阶段 \(n-1\) 次，总计 \(2n-2 \in O(n)\)。
- 并行时间步：每阶段 \(\log n\) 步，总时间 \(O(\log n)\)。
- 工作负载最优性：总操作量与串行算法同阶，且并行时间高效。
分布式环境适配
- 在分布式内存系统（如MPI）中，数组分块存储于不同处理器。需在局部扫描后，通信交换边界累加和，调整局部结果。
- 优化点：减少处理器间通信轮次，结合树形通信模式（如蝶形网络）降低延迟。

此算法通过平衡树结构将计算均匀分布，确保工作负载最优，是并行前缀和问题的标准高效解法。

并行与分布式系统中的并行前缀和（扫描）算法：工作负载优化（Work-Optimal）并行扫描算法题目描述在并行与分布式系统中，前缀和（也称扫描）是一个基础操作。给定一个输入数组 \( A = [ a_ 0, a_ 1, ..., a_ {n-1}]] \)，前缀和操作生成一个输出数组 \( B = [ b_ 0, b_ 1, ..., b_ {n-1}] \)，其中每个元素 \( b_ i \) 是 \( a_ 0 \) 到 \( a_ i \) 的和（包含性扫描）或 \( a_ 0 \) 到 \( a_ {i-1} \) 的和（排他性扫描）。工作负载优化并行扫描算法旨在使用 \( O(n) \) 的总操作量（工作负载）和 \( O(\log n) \) 的时间步数，在 \( p \) 个处理器上高效计算前缀和，避免简单并行方法中的 \( O(n \log n) \) 操作开销。解题过程问题分析朴素并行方法（如递归加倍）在 \( O(\log n) \) 时间内完成，但总操作数为 \( O(n \log n) \)，远高于串行算法的 \( O(n) \)，导致工作负载非最优。目标：设计算法在 \( O(\log n) \) 时间步内仅执行 \( O(n) \) 次加法操作，实现工作负载最优（work-efficient）。算法核心思想：平衡树与反向传播将输入数组视为完全二叉树的叶子节点（若 \( n \) 非 2 的幂，填充虚拟元素 0）。分两阶段：上扫阶段（Reduce Phase）：自底向上计算子树局部和，存储于内部节点。下扫阶段（Downsweep Phase）：自顶向下传播前缀和，结合左兄弟节点的累加和。详细步骤步骤 1：数据结构准备将数组 \( A \) 映射到平衡二叉树结构，树高 \( h = \lceil \log_ 2 n \rceil \)。每个节点存储： value ：当前子树元素和（上扫阶段计算）。 prefix ：当前节点的前缀和（下扫阶段计算）。初始化所有叶子节点的 value 为 \( A[ i] \)，内部节点的 value 和 prefix 为 0。步骤 2：上扫阶段（自底向上求和）从叶子层到根层，逐层并行处理：对于每个内部节点 \( v \)，其 value 等于左孩子 value + 右孩子 value 。示例：节点 \( v \) 的左孩子值为 \( L \)，右孩子值为 \( R \)，则设置 \( v.\text{value} = L + R \)。时间步数：\( O(\log n) \)，总加法操作数 \( O(n) \)（因二叉树节点数 \( 2n-1 \)，每节点一次加法）。步骤 3：下扫阶段（自顶向下传播前缀和）根节点前缀和设为其左孩子值（排他扫描）或自身值（包含扫描）。以排他扫描为例：根节点： prefix = 0 （排他扫描起始）。从根向下，对每个节点 \( v \) 并行：左孩子 prefix = \( v.\text{prefix} \)。右孩子 prefix = \( v.\text{prefix} + \text{左孩子.value} \)。叶子节点的 prefix 即为最终前缀和结果。时间步数：\( O(\log n) \)，总操作数 \( O(n) \)。步骤 4：输出构造收集叶子节点的 prefix 值，得到输出数组 \( B \)。对于包含性扫描，将叶子自身的值加到 prefix 上。示例演算（排他扫描）输入 \( A = [ 3, 1, 4, 2 ] \)（n=4）。上扫阶段：叶子层：节点值 [ 3, 1, 4, 2 ]。父层：左父值=3+1=4，右父值=4+2=6。根节点值=4+6=10。下扫阶段：根前缀=0。左父前缀=0，右父前缀=0+4=4。叶子前缀：左叶1=0，左叶2=0+3=3，右叶1=4，右叶2=4+4=8。输出 \( B = [ 0, 3, 4, 8 ] \)（排他扫描结果）。工作负载与时间复杂度分析总加法操作数：上扫阶段 \( n-1 \) 次，下扫阶段 \( n-1 \) 次，总计 \( 2n-2 \in O(n) \)。并行时间步：每阶段 \( \log n \) 步，总时间 \( O(\log n) \)。工作负载最优性：总操作量与串行算法同阶，且并行时间高效。分布式环境适配在分布式内存系统（如MPI）中，数组分块存储于不同处理器。需在局部扫描后，通信交换边界累加和，调整局部结果。优化点：减少处理器间通信轮次，结合树形通信模式（如蝶形网络）降低延迟。此算法通过平衡树结构将计算均匀分布，确保工作负载最优，是并行前缀和问题的标准高效解法。