自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的应用 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b ]\) 内存在一个或多个尖锐的峰值（即函数值在极小区间内急剧变化）。例如，\( f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2} \) 在 \( x=0.5 \) 处有一个高峰。直接使用均匀步长的积分法（如复合辛普森公式）可能因峰值区域采样不足导致精度严重下降。要求通过自适应辛普森积分法动态调整步长，在峰值附近加密节点，以高效控制误差。 解题过程 基础辛普森公式回顾 对子区间 \([ x_ l, x_ r ]\)，辛普森公式为： \[ S(f, x_ l, x_ r) = \frac{x_ r - x_ l}{6} \left[ f(x_ l) + 4f\left(\frac{x_ l+x_ r}{2}\right) + f(x_ r) \right ] \] 该公式具有 \( O(h^5) \) 的局部截断误差（\( h = x_ r - x_ l \)）。 自适应辛普森法的核心思想 将区间 \([ a, b ]\) 不断二分，递归计算每个子区间的积分。 若某子区间的积分误差估计超过阈值，则继续二分该区间；否则接受结果。 峰值区域因函数变化剧烈，误差估计易超阈，从而自动加密节点。 误差估计方法 对子区间 \([ x_ l, x_ r ]\)，计算： 整体近似：\( S_ 1 = S(f, x_ l, x_ r) \) 二分后的两个子区间近似之和： \[ S_ 2 = S(f, x_ l, x_ m) + S(f, x_ m, x_ r), \quad x_ m = \frac{x_ l + x_ r}{2} \] 误差估计：\( E = |S_ 1 - S_ 2| \)。 理论表明，若 \( f(x) \) 光滑，\( E \) 与真实误差同阶，且满足 \( |I - S_ 2| \approx \frac{E}{15} \)（因辛普森公式误差阶数高）。 自适应递归算法步骤 输入 ：区间 \([ x_ l, x_ r]\)，误差容限 \(\epsilon\)，最大递归深度 \(d_ {\text{max}}\)。 输出 ：子区间积分近似值。 过程 ： 若递归深度 \(d \geq d_ {\text{max}}\)，直接返回 \(S_ 1\)（防止无限递归）。 计算 \(S_ 1\)、\(S_ 2\) 和 \(E\)。 若 \(E \leq 15 \epsilon \cdot \frac{x_ r - x_ l}{b - a}\)（局部误差容限按区间长度比例分配），则返回 \(S_ 2 + \frac{S_ 2 - S_ 1}{15}\)（理查德森外推提升精度）。 否则，递归计算左右子区间 \([ x_ l, x_ m]\) 和 \([ x_ m, x_ r ]\)，深度 \(d+1\)。 峰值函数的处理优势 在函数平缓区，\(E\) 较小，算法快速接受结果。 在峰值区，\(E\) 显著增大，触发递归二分，直至步长足够小以捕捉峰值细节。 示例：对 \(f(x) = e^{-1000(x-0.5)^2}\) 在 \([ 0,1 ]\) 积分，自适应法会在 \(x=0.5\) 附近生成密集节点，而平缓区节点稀疏。 复杂度与精度平衡 通过 \(\epsilon\) 控制全局误差：最终积分误差约 \(\epsilon (b-a)\)。 避免过度细分：设置 \(d_ {\text{max}}\) 限制最小步长（如 \(h_ {\min} = (b-a)/2^{d_ {\text{max}}}\)）。 总结 ：自适应辛普森法通过局部误差驱动递归二分，特别适合峰值函数积分，实现了计算资源在关键区域的自动集中，兼顾效率与精度。