列生成算法在动态车辆调度问题中的应用示例

字数 1627 2025-11-04 08:32:42

列生成算法在动态车辆调度问题中的应用示例

问题描述
动态车辆调度问题（Dynamic Vehicle Scheduling Problem, DVSP）要求在实时变化的运输需求下，为车队安排最优的行车计划。假设有一个物流公司，拥有多辆货车，需要根据客户实时提交的货物运输请求（包括取货时间、地点、送货期限等），动态分配车辆并规划路径，目标是在满足所有请求的时间窗约束下，最小化总行驶成本（如距离或时间）。由于请求是动态到达的，传统静态优化方法无法直接应用，而列生成算法通过将问题分解为主问题（分配车辆路径）和子问题（生成新路径），能够高效应对动态场景。

解题过程

1. 问题建模

主问题（限制主问题，RMP）：
假设当前已有一组初始可行路径集合 \(P\)，每条路径 \(p\) 对应一个二进制变量 \(y_p\)（表示是否使用该路径），成本为 \(c_p\)。主问题目标是最小化总成本：

\[ \min \sum_{p \in P} c_p y_p \]

约束包括：
(1) 每个运输请求必须被恰好一条路径覆盖；
(2) 使用的路径数量不超过车队规模。
这是一个整数规划问题，但通常先松弛为线性规划求解。

子问题（定价问题）：
子问题负责生成新的可行路径。其目标是为每辆车寻找一条成本最低的路径（考虑时间窗约束），并计算该路径的检验数（reduced cost）。若存在检验数为负的路径，则将其加入主问题。子问题可建模为带资源约束的最短路径问题（SPPRC），通过动态规划（如标签算法）求解。

2. 列生成流程

步骤1：初始化
生成一组初始可行路径（例如，每辆车只服务一个请求的简单路径），构成初始主问题。
步骤2：求解主问题的线性松弛
使用单纯形法求解当前RMP，得到对偶变量 \(\pi_i\)（对应每个请求的覆盖约束）和 \(\mu\)（对应车队规模约束）。
步骤3：求解子问题
利用对偶变量 \(\pi_i\) 和 \(\mu\)，计算新路径的检验数 \(\bar{c}_p = c_p - \sum_{i \in p} \pi_i + \mu\)。
通过标签算法求解SPPRC，寻找检验数最小的路径。若最小检验数 \(\bar{c}_p^* \geq 0\)，当前解已是最优；否则，将 \(\bar{c}_p^* < 0\) 的路径加入主问题。
步骤4：动态更新
当新运输请求到达时，更新主问题的约束（新增请求覆盖约束），并重新求解子问题以生成包含新请求的路径。重复步骤2-3直至无负检验数路径。
步骤5：整数解处理
列生成得到线性松弛最优解后，若解为分数，需结合分支定界法（分支定价）得到整数解。

3. 关键技术与细节

标签算法：在子问题中，每个路径状态用标签（如当前位置、时间、已服务请求）表示，通过扩展标签生成新路径，并利用支配规则剪枝无效状态。
动态性处理：新请求到达时，需快速更新对偶变量并重新定价，常用启发式（如限制生成路径数量）平衡实时性与最优性。
约束处理：时间窗约束在标签扩展时检查，若车辆到达时间早于请求最早时间需等待，晚于最晚时间则路径不可行。

示例说明
假设初始有3个请求，车队规模为2。列生成首轮生成两条路径：路径1服务请求1和3（成本=10），路径2服务请求2（成本=6）。主问题求解后对偶变量为 \(\pi_1=3, \pi_2=2, \pi_3=4, \mu=1\)。子问题中，新路径服务请求1和2的成本为9，检验数 \(\bar{c} = 9 - (3+2) + 1 = 5 > 0\)，未改进；但路径服务请求2和3的成本为7，检验数 \(\bar{c} = 7 - (2+4) + 1 = 2 > 0\)，无负检验数路径，当前解最优。若新请求4到达，主问题新增约束，重新触发列生成流程。

列生成算法在动态车辆调度问题中的应用示例问题描述动态车辆调度问题（Dynamic Vehicle Scheduling Problem, DVSP）要求在实时变化的运输需求下，为车队安排最优的行车计划。假设有一个物流公司，拥有多辆货车，需要根据客户实时提交的货物运输请求（包括取货时间、地点、送货期限等），动态分配车辆并规划路径，目标是在满足所有请求的时间窗约束下，最小化总行驶成本（如距离或时间）。由于请求是动态到达的，传统静态优化方法无法直接应用，而列生成算法通过将问题分解为主问题（分配车辆路径）和子问题（生成新路径），能够高效应对动态场景。解题过程 1. 问题建模主问题（限制主问题，RMP）：假设当前已有一组初始可行路径集合 \( P \)，每条路径 \( p \) 对应一个二进制变量 \( y_ p \)（表示是否使用该路径），成本为 \( c_ p \)。主问题目标是最小化总成本： \[ \min \sum_ {p \in P} c_ p y_ p \] 约束包括： (1) 每个运输请求必须被恰好一条路径覆盖； (2) 使用的路径数量不超过车队规模。这是一个整数规划问题，但通常先松弛为线性规划求解。子问题（定价问题）：子问题负责生成新的可行路径。其目标是为每辆车寻找一条成本最低的路径（考虑时间窗约束），并计算该路径的检验数（reduced cost）。若存在检验数为负的路径，则将其加入主问题。子问题可建模为带资源约束的最短路径问题（SPPRC），通过动态规划（如标签算法）求解。 2. 列生成流程步骤1：初始化生成一组初始可行路径（例如，每辆车只服务一个请求的简单路径），构成初始主问题。步骤2：求解主问题的线性松弛使用单纯形法求解当前RMP，得到对偶变量 \( \pi_ i \)（对应每个请求的覆盖约束）和 \( \mu \)（对应车队规模约束）。步骤3：求解子问题利用对偶变量 \( \pi_ i \) 和 \( \mu \)，计算新路径的检验数 \( \bar{c} p = c_ p - \sum {i \in p} \pi_ i + \mu \)。通过标签算法求解SPPRC，寻找检验数最小的路径。若最小检验数 \( \bar{c}_ p^* \geq 0 \)，当前解已是最优；否则，将 \( \bar{c}_ p^* < 0 \) 的路径加入主问题。步骤4：动态更新当新运输请求到达时，更新主问题的约束（新增请求覆盖约束），并重新求解子问题以生成包含新请求的路径。重复步骤2-3直至无负检验数路径。步骤5：整数解处理列生成得到线性松弛最优解后，若解为分数，需结合分支定界法（分支定价）得到整数解。 3. 关键技术与细节标签算法：在子问题中，每个路径状态用标签（如当前位置、时间、已服务请求）表示，通过扩展标签生成新路径，并利用支配规则剪枝无效状态。动态性处理：新请求到达时，需快速更新对偶变量并重新定价，常用启发式（如限制生成路径数量）平衡实时性与最优性。约束处理：时间窗约束在标签扩展时检查，若车辆到达时间早于请求最早时间需等待，晚于最晚时间则路径不可行。示例说明假设初始有3个请求，车队规模为2。列生成首轮生成两条路径：路径1服务请求1和3（成本=10），路径2服务请求2（成本=6）。主问题求解后对偶变量为 \( \pi_ 1=3, \pi_ 2=2, \pi_ 3=4, \mu=1 \)。子问题中，新路径服务请求1和2的成本为9，检验数 \( \bar{c} = 9 - (3+2) + 1 = 5 > 0 \)，未改进；但路径服务请求2和3的成本为7，检验数 \( \bar{c} = 7 - (2+4) + 1 = 2 > 0 \)，无负检验数路径，当前解最优。若新请求4到达，主问题新增约束，重新触发列生成流程。