高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧
字数 1881 2025-11-04 08:32:42

高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算定积分 \(I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx\)，其中被积函数 \(f(x)\) 在积分区间端点 \(x = \pm 1\) 处存在奇异性（例如 \(f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\)，且 \(g(x)\) 在 \([-1,1]\) 上光滑）。直接应用标准高斯-勒让德求积公式会因端点奇异性导致收敛速度缓慢。要求通过变量替换技巧消除奇异性，并分析变换后积分的高斯求积实现方法。

解题过程

  1. 问题分析

    • 高斯-勒让德求积公式适用于光滑函数在 \([-1,1]\) 上的积分，但若被积函数在端点处发散（如含 \((1-x^2)^{-1/2}\) 的权重），公式的代数精度会因奇异性失效。
    • 核心思路：通过变量替换 \(x = \varphi(t)\) 将原积分转化为在新变量 \(t\) 下的积分，使新被积函数在端点处光滑。

  2. 变量替换的构造

    • 针对端点奇异性 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，令 \(x = \cos t\)，此时 \(dx = -\sin t \, dt\)，且当 \(x\) 从 \(-1\) 到 \(1\) 时，\(t\) 从 \(\pi\) 到 \(0\)。
    • 代入原积分：

\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_{\pi}^{0} \frac{g(\cos t)}{\sin t} (-\sin t) \, dt = \int_{0}^{\pi} g(\cos t) \, dt. \]

  • 奇异性被消除，新被积函数 \(g(\cos t)\) 在 \([0, \pi]\) 上光滑（因 \(g(x)\) 光滑）。
  1. 高斯求积公式的选择
    • 变换后的积分区间为 \([0, \pi]\)，需选择适用于该区间的高斯公式。常见方法：
      • 方案1：用高斯-勒让德公式时，需再次变换区间。令 \(t = \pi \frac{u+1}{2}\) 将 \([0, \pi]\) 映射回 \([-1,1]\)，此时积分变为

\[ I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} g\left(\cos\left(\frac{\pi(u+1)}{2}\right)\right) du. \]

   对新被积函数直接应用标准高斯-勒让德求积公式。  
 - **方案2**：直接使用适用于 $ [0, \pi] $ 的高斯-切比雪夫求积公式（第二类），但需注意原问题已消除权重，故更推荐方案1。

  1. 误差与收敛性分析

    • 若 \(g(x)\) 在 \([-1,1]\) 上解析，则 \(g(\cos t)\) 在 \([0, \pi]\) 上光滑，高斯-勒让德求积的误差以指数速度收敛。
    • 未消除奇异性时，收敛速度仅为代数速度（如 \(O(n^{-1/2})\)）；消除后可达指数速度（如 \(O(e^{-cn})\)）。

  2. 示例计算

    • 以 \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 为例（即 \(g(x)=1\)）：
      • 精确值： \(I = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi\)。
      • 变量替换后积分变为 \(\int_{0}^{\pi} 1 \, dt = \pi\)，无需数值计算即得精确值。
    • 若 \(g(x) = x^2\)，则 \(I = \int_{0}^{\pi} \cos^2 t \, dt = \frac{\pi}{2}\)，通过高斯-勒让德求积在 \(u\)-空间计算可快速收敛。

  3. 推广到其他奇异性

    • 对于一般端点奇异性 \(f(x) = (1-x^2)^{-\alpha} h(x)\)（\(\alpha > 0\)），可通过类似替换 \(x = \cos t\) 转化为 \(\int_{0}^{\pi} \sin^{1-2\alpha} t \cdot h(\cos t) \, dt\)。若 \(\alpha = 1/2\)，则权重消失；若 \(\alpha \neq 1/2\)，需结合带权高斯求积公式（如高斯-切比雪夫公式）。
高斯-勒让德求积公式在带端点奇异性函数积分中的变量替换技巧 题目描述 计算定积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中被积函数 \( f(x) \) 在积分区间端点 \( x = \pm 1 \) 处存在奇异性（例如 \( f(x) = \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \)，且 \( g(x) \) 在 \([ -1,1 ]\) 上光滑）。直接应用标准高斯-勒让德求积公式会因端点奇异性导致收敛速度缓慢。要求通过变量替换技巧消除奇异性，并分析变换后积分的高斯求积实现方法。 解题过程 问题分析 高斯-勒让德求积公式适用于光滑函数在 \([ -1,1 ]\) 上的积分，但若被积函数在端点处发散（如含 \( (1-x^2)^{-1/2} \) 的权重），公式的代数精度会因奇异性失效。 核心思路：通过变量替换 \( x = \varphi(t) \) 将原积分转化为在新变量 \( t \) 下的积分，使新被积函数在端点处光滑。 变量替换的构造 针对端点奇异性 \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)，令 \( x = \cos t \)，此时 \( dx = -\sin t \, dt \)，且当 \( x \) 从 \( -1 \) 到 \( 1 \) 时，\( t \) 从 \( \pi \) 到 \( 0 \)。 代入原积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int_ {\pi}^{0} \frac{g(\cos t)}{\sin t} (-\sin t) \, dt = \int_ {0}^{\pi} g(\cos t) \, dt. \] 奇异性被消除，新被积函数 \( g(\cos t) \) 在 \( [ 0, \pi ] \) 上光滑（因 \( g(x) \) 光滑）。 高斯求积公式的选择 变换后的积分区间为 \( [ 0, \pi ] \)，需选择适用于该区间的高斯公式。常见方法： 方案1 ：用高斯-勒让德公式时，需再次变换区间。令 \( t = \pi \frac{u+1}{2} \) 将 \( [ 0, \pi] \) 映射回 \( [ -1,1 ] \)，此时积分变为 \[ I = \frac{\pi}{2} \int_ {-1}^{1} g\left(\cos\left(\frac{\pi(u+1)}{2}\right)\right) du. \] 对新被积函数直接应用标准高斯-勒让德求积公式。 方案2 ：直接使用适用于 \( [ 0, \pi ] \) 的高斯-切比雪夫求积公式（第二类），但需注意原问题已消除权重，故更推荐方案1。 误差与收敛性分析 若 \( g(x) \) 在 \([ -1,1]\) 上解析，则 \( g(\cos t) \) 在 \( [ 0, \pi ] \) 上光滑，高斯-勒让德求积的误差以指数速度收敛。 未消除奇异性时，收敛速度仅为代数速度（如 \( O(n^{-1/2}) \)）；消除后可达指数速度（如 \( O(e^{-cn}) \)）。 示例计算 以 \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 为例（即 \( g(x)=1 \)）： 精确值： \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi \)。 变量替换后积分变为 \( \int_ {0}^{\pi} 1 \, dt = \pi \)，无需数值计算即得精确值。 若 \( g(x) = x^2 \)，则 \( I = \int_ {0}^{\pi} \cos^2 t \, dt = \frac{\pi}{2} \)，通过高斯-勒让德求积在 \( u \)-空间计算可快速收敛。 推广到其他奇异性 对于一般端点奇异性 \( f(x) = (1-x^2)^{-\alpha} h(x) \)（\( \alpha > 0 \)），可通过类似替换 \( x = \cos t \) 转化为 \( \int_ {0}^{\pi} \sin^{1-2\alpha} t \cdot h(\cos t) \, dt \)。若 \( \alpha = 1/2 \)，则权重消失；若 \( \alpha \neq 1/2 \)，需结合带权高斯求积公式（如高斯-切比雪夫公式）。