非线性规划中的序列二次规划-过滤器混合算法基础题 题目描述： 考虑如下非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0, \quad g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \] 初始点为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)。要求使用 序列二次规划-过滤器混合算法（SQP-Filter） 求解该问题，通过结合过滤器方法避免传统罚函数中权重参数的选取困难，并保证迭代的全局收敛性。 解题过程： 1. 算法核心思想 序列二次规划-过滤器混合算法将SQP的局部快速收敛性与过滤器方法的全局鲁棒性结合。其核心改进在于： 过滤器（Filter） ：记录一组互不占优的 \((f, h)\) 对（其中 \(h\) 为约束违反度），避免像罚函数那样需要调整权重。 接受机制 ：新迭代点被接受当且仅当它要么降低目标函数 \(f\)，要么降低约束违反度 \(h\)，且不劣于过滤器中的所有历史点。 2. 约束违反度定义 约束违反度 \(h(x)\) 通常取为： \[ h(x) = \sum_ {i=1}^m \max(0, g_ i(x)) \] 本例中： \[ h(x) = \max(0, x_ 1^2 - x_ 2) + \max(0, x_ 1 + x_ 2 - 2) \] 3. 初始点与过滤器初始化 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，计算： \[ f(x^{(0)}) = (0-2)^2 + (0-1)^2 = 5 \] \[ h(x^{(0)}) = \max(0, 0-0) + \max(0, 0+0-2) = 0 + 0 = 0 \] 初始化过滤器为空集（或包含一个虚拟点，如 \((f, h) = (+\infty, +\infty)\)）。 4. 构建子问题（第k次迭代） 在点 \(x^{(k)}\) 处，构建二次规划子问题： 目标函数：近似原问题的拉格朗日函数二阶展开： \[ \min_ d \nabla f(x^{(k)})^T d + \frac{1}{2} d^T B_ k d \] 其中 \(B_ k\) 为拉格朗日函数Hessian的近似（例如BFGS更新）。 约束：线性化原约束： \[ \nabla g_ i(x^{(k)})^T d + g_ i(x^{(k)}) \leq 0 \quad (i=1,2) \] 以第一次迭代为例（\(k=0\)）： 计算梯度： \[ \nabla f(x) = [ 2(x_ 1-2), 2(x_ 2-1)] \Rightarrow \nabla f(0,0) = [ -4, -2 ] \] \[ \nabla g_ 1(x) = [ 2x_ 1, -1] \Rightarrow \nabla g_ 1(0,0) = [ 0, -1], \quad g_ 1(0,0) = 0 \] \[ \nabla g_ 2(x) = [ 1, 1] \Rightarrow \nabla g_ 2(0,0) = [ 1, 1], \quad g_ 2(0,0) = -2 \] 初始 \(B_ 0\) 取单位矩阵 \(I\)。 子问题为： \[ \min_ d [ -4, -2 ] d + \frac{1}{2} d^T I d \] 满足： \[ [ 0, -1] d + 0 \leq 0, \quad [ 1, 1 ] d - 2 \leq 0 \] 解得 \(d^{(0)} = (0, 0)\)（因为初始点已可行，且梯度指向不可行域外）。 5. 线搜索与过滤器接受准则 计算候选点 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d^{(k)}\)（\(\alpha\) 为步长）。 接受条件 ：若存在 \(\alpha\) 使得 \((f(x^{(k+1)}), h(x^{(k+1)}))\) 不被过滤器中的任何点占优（即不满足 \(f \geq f_ j\) 且 \(h \geq h_ j\) 对所有过滤器点 \(j\)），则接受该点，并更新过滤器（删除被新点占优的点，加入新点）。 回溯线搜索 ：从 \(\alpha=1\) 开始，逐步缩减步长直到满足接受条件。 6. 迭代直至收敛 重复步骤4-5，直到 \(||d^{(k)}||\) 和约束违反度 \(h(x^{(k)})\) 小于预设容差。 最终解应接近理论最优解 \(x^* = (1, 1)\)（满足 \(g_ 1(1,1)=0, g_ 2(1,1)=0\)，\(f(1,1)=1\)）。 7. 关键优势 避免罚函数权重调整的敏感性。 通过过滤器平衡目标函数下降与可行性提升，增强全局收敛性。