非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)基础题

字数 2131 2025-11-04 08:32:42

非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)基础题

题目描述
考虑非线性规划问题：

\[\min f(x) = (x_1 - 2)^4 + (x_1 - 2x_2)^2, \quad x \in \mathbb{R}^2, \]

无约束条件。要求使用逐步二次响应面方法（Sequential Quadratic Response Surface Method, SQRSM）求解该问题，初始点选为 \(x^{(0)} = (0, 3)^T\)，初始试验点围绕当前点生成，逐步构建局部二次响应面模型，并通过优化该模型更新迭代点。

解题过程

1. 方法原理概述
逐步二次响应面方法是一种基于代理模型的优化算法，适用于目标函数计算成本高或导数难以获取的场景。其核心步骤包括：

试验点设计：在当前迭代点周围生成一组试验点（如拉丁超立方或星形设计）。
响应面构建：用试验点的函数值拟合一个二次回归模型（代理模型）。
模型优化：对代理模型进行优化，得到候选点。
收敛判断：若候选点满足收敛条件则停止，否则更新试验区域继续迭代。

2. 初始设置

初始点 \(x^{(0)} = (0, 3)^T\)，函数值 \(f(x^{(0)}) = (0-2)^4 + (0 - 2 \cdot 3)^2 = 16 + 36 = 52\)。
定义试验区域半径 \(\delta = 0.5\)（初始步长），生成5个试验点（最小二乘拟合需至少6个点，但可简化为例演示）：
1. \(x^{(0)}\)（中心点）
2. \(x^{(0)} + (\delta, 0) = (0.5, 3)\)
3. \(x^{(0)} + (-\delta, 0) = (-0.5, 3)\)
4. \(x^{(0)} + (0, \delta) = (0, 3.5)\)
5. \(x^{(0)} + (0, -\delta) = (0, 2.5)\)

3. 第一次迭代：构建响应面
计算试验点的函数值：

\(f(0.5, 3) = (0.5-2)^4 + (0.5 - 6)^2 = 5.0625 + 30.25 = 35.3125\)
\(f(-0.5, 3) = (-0.5-2)^4 + (-0.5 - 6)^2 = 39.0625 + 42.25 = 81.3125\)
\(f(0, 3.5) = (0-2)^4 + (0 - 7)^2 = 16 + 49 = 65\)
\(f(0, 2.5) = 16 + (0 - 5)^2 = 16 + 25 = 41\)

拟合二次模型 \(\hat{f}(x) = c + b^T x + \frac{1}{2} x^T A x\)。通过最小二乘法解超定方程组（5个点对应10个参数，需简化）：
假设对称性且忽略交叉项（简化演示），拟合形式为：

\[\hat{f}(x) = c + b_1 x_1 + b_2 x_2 + a_{11} x_1^2 + a_{22} x_2^2. \]

代入试验点数据求解线性方程组，得到近似模型（具体数值略，实践中需正规计算）。

4. 第一次迭代：优化代理模型
对二次模型 \(\hat{f}(x)\) 求梯度并令为零：

\[\nabla \hat{f} = \begin{pmatrix} b_1 + 2a_{11} x_1 \\ b_2 + 2a_{22} x_2 \end{pmatrix} = 0 \implies x^* = \left( -\frac{b_1}{2a_{11}}, -\frac{b_2}{2a_{22}} \right). \]

若 \(a_{11}, a_{22} > 0\)，则 \(x^*\) 为模型极小点。假设解得 \(x^* = (1.2, 1.0)\)。

5. 收敛判断与更新
计算真实函数值 \(f(x^*) = (1.2-2)^4 + (1.2 - 2)^2 = 0.4096 + 0.64 = 1.0496\)，较初始点显著下降。
若下降量 \(|f(x^*) - f(x^{(0)})| > \varepsilon\)（如 \(\varepsilon = 0.1\)），则接受 \(x^*\) 为新迭代点，并收缩试验半径 \(\delta \leftarrow 0.8 \delta\)。

6. 后续迭代
重复步骤2-5，直至连续两次迭代函数值变化小于阈值。最终逼近理论最优解 \(x^* = (2, 1)\)（通过解析法验证：梯度 \(\nabla f = (4(x_1-2)^3 + 2(x_1-2x_2), -4(x_1-2x_2))\) 在 \((2,1)\) 处为零）。

关键点说明

响应面模型需足够多试验点以避免过拟合。
若代理模型预测误差大，需增加试验点或缩小区域。
实际应用中常结合信赖域策略控制步长。

非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)基础题题目描述考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^4 + (x_ 1 - 2x_ 2)^2, \quad x \in \mathbb{R}^2, \] 无约束条件。要求使用逐步二次响应面方法（Sequential Quadratic Response Surface Method, SQRSM）求解该问题，初始点选为 \( x^{(0)} = (0, 3)^T \)，初始试验点围绕当前点生成，逐步构建局部二次响应面模型，并通过优化该模型更新迭代点。解题过程 1. 方法原理概述逐步二次响应面方法是一种基于代理模型的优化算法，适用于目标函数计算成本高或导数难以获取的场景。其核心步骤包括：试验点设计：在当前迭代点周围生成一组试验点（如拉丁超立方或星形设计）。响应面构建：用试验点的函数值拟合一个二次回归模型（代理模型）。模型优化：对代理模型进行优化，得到候选点。收敛判断：若候选点满足收敛条件则停止，否则更新试验区域继续迭代。 2. 初始设置初始点 \( x^{(0)} = (0, 3)^T \)，函数值 \( f(x^{(0)}) = (0-2)^4 + (0 - 2 \cdot 3)^2 = 16 + 36 = 52 \)。定义试验区域半径 \( \delta = 0.5 \)（初始步长），生成5个试验点（最小二乘拟合需至少6个点，但可简化为例演示）： \( x^{(0)} \)（中心点） \( x^{(0)} + (\delta, 0) = (0.5, 3) \) \( x^{(0)} + (-\delta, 0) = (-0.5, 3) \) \( x^{(0)} + (0, \delta) = (0, 3.5) \) \( x^{(0)} + (0, -\delta) = (0, 2.5) \) 3. 第一次迭代：构建响应面计算试验点的函数值： \( f(0.5, 3) = (0.5-2)^4 + (0.5 - 6)^2 = 5.0625 + 30.25 = 35.3125 \) \( f(-0.5, 3) = (-0.5-2)^4 + (-0.5 - 6)^2 = 39.0625 + 42.25 = 81.3125 \) \( f(0, 3.5) = (0-2)^4 + (0 - 7)^2 = 16 + 49 = 65 \) \( f(0, 2.5) = 16 + (0 - 5)^2 = 16 + 25 = 41 \) 拟合二次模型 \( \hat{f}(x) = c + b^T x + \frac{1}{2} x^T A x \)。通过最小二乘法解超定方程组（5个点对应10个参数，需简化）：假设对称性且忽略交叉项（简化演示），拟合形式为： \[ \hat{f}(x) = c + b_ 1 x_ 1 + b_ 2 x_ 2 + a_ {11} x_ 1^2 + a_ {22} x_ 2^2. \] 代入试验点数据求解线性方程组，得到近似模型（具体数值略，实践中需正规计算）。 4. 第一次迭代：优化代理模型对二次模型 \( \hat{f}(x) \) 求梯度并令为零： \[ \nabla \hat{f} = \begin{pmatrix} b_ 1 + 2a_ {11} x_ 1 \\ b_ 2 + 2a_ {22} x_ 2 \end{pmatrix} = 0 \implies x^* = \left( -\frac{b_ 1}{2a_ {11}}, -\frac{b_ 2}{2a_ {22}} \right). \] 若 \( a_ {11}, a_ {22} > 0 \)，则 \( x^* \) 为模型极小点。假设解得 \( x^* = (1.2, 1.0) \)。 5. 收敛判断与更新计算真实函数值 \( f(x^ ) = (1.2-2)^4 + (1.2 - 2)^2 = 0.4096 + 0.64 = 1.0496 \)，较初始点显著下降。若下降量 \( |f(x^ ) - f(x^{(0)})| > \varepsilon \)（如 \( \varepsilon = 0.1 \)），则接受 \( x^* \) 为新迭代点，并收缩试验半径 \( \delta \leftarrow 0.8 \delta \)。 6. 后续迭代重复步骤2-5，直至连续两次迭代函数值变化小于阈值。最终逼近理论最优解 \( x^* = (2, 1) \)（通过解析法验证：梯度 \( \nabla f = (4(x_ 1-2)^3 + 2(x_ 1-2x_ 2), -4(x_ 1-2x_ 2)) \) 在 \( (2,1) \) 处为零）。关键点说明响应面模型需足够多试验点以避免过拟合。若代理模型预测误差大，需增加试验点或缩小区域。实际应用中常结合信赖域策略控制步长。