其中 $\epsilon$ 为全局容差，则接受 $ S(a, m) + S(m, b) $ 作为积分近似值。  

自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的应用 题目描述 考虑计算带峰值特征的函数积分，例如 \( I = \int_ a^b f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在某个小区间内存在陡峭的峰值（如高斯函数 \( e^{-x^2} \) 在 \( x=0 \) 附近）。若直接使用均匀步长的积分方法（如复合辛普森公式），需极小的步长才能捕捉峰值，计算效率低。自适应辛普森积分法通过动态调整步长，在峰值区域加密采样，在平缓区域稀疏采样，以平衡精度与计算量。 解题步骤 基础辛普森公式回顾 在区间 \([ a, b ]\) 上，辛普森公式为： \[ S(a, b) = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right ]. \] 其误差余项与 \((b-a)^5\) 成正比，适用于光滑函数。 自适应策略原理 将区间 \([ a, b]\) 等分为两个子区间 \([ a, m]\) 和 \([ m, b ]\)（\( m = \frac{a+b}{2} \)）。 分别计算整体辛普森值 \( S(a, b) \) 和两个子区间辛普森值之和 \( S(a, m) + S(m, b) \)。 若两者差值满足精度要求： \[ |S(a, b) - [ S(a, m) + S(m, b)]| < \epsilon \cdot (b-a), \] 其中 \(\epsilon\) 为全局容差，则接受 \( S(a, m) + S(m, b) \) 作为积分近似值。 否则，递归处理两个子区间。 峰值函数的处理技巧 峰值检测 ：若子区间中点函数值 \( f(m) \) 远大于端点值（如 \( |f(m)| > 10 \cdot \max(|f(a)|, |f(b)|) \)），可能存在峰值，需优先递归。 局部容差调整 ：在峰值区域，允许更小的容差 \(\epsilon_ {\text{local}} = \epsilon \cdot (b-a)\)，确保峰值细节被捕获。 递归终止条件 除精度条件外，需设置最小步长 \( h_ {\min} \)（如 \( 10^{-6} \)），避免无限递归。 若区间长度 \( b-a < h_ {\min} \)，直接返回辛普森值并警告可能精度不足。 实例演示 计算 \( I = \int_ {-2}^2 e^{-x^2} \, dx \)（峰值在 \( x=0 \)），设 \(\epsilon = 10^{-6}\)： 第一层区间 \([ -2, 2 ]\)：计算 \( S(-2, 2) \) 和 \( S(-2, 0) + S(0, 2) \)，差值较大，触发递归。 递归至区间 \([ -0.5, 0.5 ]\) 时，因峰值被密集采样，差值迅速满足精度要求。 最终积分值收敛至 \( \approx 1.764162 \)，与精确值误差小于 \( 10^{-6} \)。 关键优势 自适应方法在峰值附近自动加密节点（如 \( x=0 \) 邻域），而在 \( |x|>1 \) 的平缓区域减少计算，相比均匀步长节省超过 50% 的函数求值次数。