并行与分布式系统中的并行前缀和（扫描）算法：Blelloch并行扫描算法

题目描述：
前缀和（也称扫描）操作是并行计算中的基础原语，定义为给定输入数组 [a₀, a₁, ..., aₙ₋₁]，计算输出数组 [a₀, a₀⊕a₁, a₀⊕a₁⊕a₂, ..., a₀⊕a₁⊕...⊕aₙ₋₁]，其中 ⊕ 是任意满足结合律的二元运算符（如加法、乘法）。Blelloch 算法是一种高效的工作最优并行扫描算法，它通过两阶段的树形结构（上扫和下扫）在 O(n/p + log n) 时间内完成计算，其中 p 为处理器数量。

解题过程：

1. 问题分析
   串行扫描需要 O(n) 时间。并行化的挑战在于前缀计算具有数据依赖性——每个输出值依赖前驱结果的累积。直接并行化会导致工作量非最优（如简单分块法需要 O(n log n) 总操作）。

2. 算法核心思想
   Blelloch 算法将计算分为两阶段：

   • 上扫（Reduce 阶段）：构建一棵二叉树，自底向上计算局部和，但不存储中间前缀结果，仅保留子树和。
   • 下扫（Down-Sweep 阶段）：从树根向下传播前缀值，结合子树和生成最终前缀和。

3. 数据结构准备
   假设输入数组大小为 n（为简化设 n=2ᵏ）。创建长度为 2n 的数组 arr，其中 arr[n...2n-1] 存储原始输入，arr[1...n-1] 用于中间计算。

4. 上扫阶段（Reduce）

   • 从叶节点（索引 n 到 2n-1）开始，向上逐层合并：

     for d from (log₂n - 1) down to 0:
         for k from 0 to (2^d - 1) in parallel:
             index = 2^d + k
             arr[index] = arr[2*index] ⊕ arr[2*index + 1]  # 合并左右子节点
     

   • 执行后，根节点 arr[1] 存储全数组总和，但其他节点仅存储子树和。

5. 下扫阶段（Down-Sweep）

   • 将根节点前缀值设为单位元（如加法中为 0），然后向下传播：

     arr[1] = 0  # 单位元
     for d from 0 to (log₂n - 1):
         for k from 0 to (2^d - 1) in parallel:
             index = 2^d + k
             left = 2*index, right = 2*index + 1
             arr[left] = arr[index]           # 左子继承父节点前缀值
             arr[right] = arr[index] ⊕ arr[left]  # 右子前缀 = 父前缀 ⊕ 左子和
     

   • 最终 arr[n...2n-1] 存储完整前缀和（最后一个元素为总和）。

6. 复杂度分析

   • 总操作量：上扫和下扫各进行 n-1 次 ⊕ 操作，总计 2(n-1) 次，与串行算法相同（工作最优）。
   • 并行时间：使用 n 个处理器时，每层并行执行，深度为 O(log n)，总时间 O(log n)。

7. 扩展优化

   • 非 2 的幂次数组：填充单位元至最近幂次，最后截断结果。
   • 分层并行：大规模数据可先分块局部扫描，再跨块合并（Blelloch 算法用于块间合并）。

实例验证（加法扫描，输入 [3,1,7,0]）：

• 上扫后树：[-,11,4,7,3,1,7,0]（索引1为根，存储总和11）
• 下扫后叶节点：[3,4,11,11] 即前缀和 [3, 3+1, 3+1+7, 3+1+7+0]。