自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的应用

题目内容：计算积分

\[I = \int_{-1}^{1} \frac{1}{0.01 + x^2} dx \]

该被积函数在 \(x=0\) 处有一个尖锐的峰值，传统积分方法可能因采样不足而精度不足。要求使用自适应高斯-克朗罗德积分法，并分析其如何通过局部加密采样来自适应捕捉峰值特征。

解题过程

1. 问题分析

   • 被积函数 \(f(x) = \frac{1}{0.01 + x^2}\) 在 \(x=0\) 处达到最大值 100，而在 \(x=\pm 1\) 时函数值约为 0.99，峰值宽度很窄（由分母中的 0.01 控制）。
   • 若使用均匀采样方法（如复合梯形法），需要在峰值区域密集采样才能准确捕捉函数变化，但全局均匀加密会浪费计算资源。
   • 自适应高斯-克朗罗德积分法的优势：基于误差估计自动在变化剧烈的子区间加密节点，避免全局均匀划分。

2. 高斯-克朗罗德求积公式简介

   • 在区间 \([a,b]\) 上，高斯-克朗罗德公式使用 \(n\) 个高斯点（用于计算积分近似值）和 \(n+1\) 个克朗罗德点（用于误差估计）。常用的是 G7-K15 组合（7个高斯点，15个总节点）。
   • 积分近似值 \(G\) 和误差估计值 \(K\) 分别通过不同节点集计算，若 \(|G - K|\) 小于预设容差，则接受结果；否则将区间二分并递归处理。

3. 自适应策略实现步骤

   • 步骤1：在全区间 \([-1,1]\) 应用 G7-K15 公式计算积分近似值 \(G\) 和参考值 \(K\)。
   • 步骤2：计算误差估计 \(E = |G - K|\)。若 \(E < \epsilon\)（如 \(\epsilon=10^{-6}\)），返回 \(G\) 作为该区间积分值。
   • 步骤3：若 \(E \geq \epsilon\)，将区间分为 \([-1,0]\) 和 \([0,1]\)，对每个子区间递归执行步骤1-3。
   • 步骤4：合并所有子区间结果作为全局积分值。

4. 峰值区域的局部加密示例

   • 第一层递归在全区间 \([-1,1]\) 计算时，由于峰值集中在 0 附近，误差估计 \(E\) 较大（因节点在峰值处采样不足）。
   • 递归进入子区间后，区间 \([0,1]\) 的函数变化平缓，可能一次计算即满足容差；而 \([-1,0]\) 进一步分裂后，子区间 \([-0.5,0]\) 更接近峰值，会继续加密，直到子区间宽度足够小，使 G7-K15 公式能精确捕捉峰值。

5. 误差控制与收敛性

   • 自适应方法确保资源集中在峰值区域。对于本例，峰值宽度约 \([-0.1,0.1]\)，递归若干次后，该区域会被划分为足够小的子区间，每个子区间内函数接近线性，高斯-克朗罗德公式可高效积分。
   • 与全局均匀方法相比，自适应方法在保证精度的同时大幅减少计算量。

6. 结果验证

   • 本例的理论值可通过解析积分求解：

\[ I = \frac{2}{\sqrt{0.01}} \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{0.01}}\right) \approx 20 \arctan(10) \approx 31.4333. \]

• 自适应高斯-克朗罗德法通常可在递归深度 10 层内达到 \(10^{-6}\) 精度。

总结：自适应高斯-克朗罗德法通过局部误差估计驱动区间二分，特别适合峰值函数积分，避免全局加密的计算浪费。