高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理
字数 2259 2025-11-03 20:30:43

高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理

题目描述
考虑带权积分 \(I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在区间 \([-1,1]\) 上定义。高斯-切比雪夫求积公式旨在用求和形式 \(I \approx \sum_{k=1}^{n} w_k f(x_k)\) 近似该积分，要求节点 \(x_k\) 和权重 \(w_k\) 的选择使公式具有最高代数精度。本题重点分析权函数的归一化处理如何影响权重计算，并推导 n=3 时的具体节点和权重值。

解题过程

  1. 权函数与正交多项式的关系
    • 高斯型求积公式的节点是权函数对应正交多项式的根。对于权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，其对应的正交多项式是第一类切比雪夫多项式 \(T_n(x) = \cos(n \arccos x)\)。
    • 关键性质：\(T_n(x)\) 在 \([-1,1]\) 上关于权函数 \(w(x)\) 正交，即满足：

\[ \int_{-1}^{1} \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & \text{若 } m \neq n, \\ \pi & \text{若 } m = n = 0, \\ \pi/2 & \text{若 } m = n \geq 1. \end{cases} \]

  • 注意：此处的正交性定义包含权函数 \(w(x)\)，但积分结果中的常数 \(\pi\) 或 \(\pi/2\) 表明权函数本身未归一化（即 \(\int_{-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \neq 1\)）。

  1. 权函数的归一化处理

    • 若直接使用原权函数 \(w(x)\)，求积公式的权重需通过解线性方程组或利用正交多项式性质计算。但切比雪夫多项式的特殊性允许直接推导封闭解。
    • 归一化权函数 定义为 \(\tilde{w}(x) = \frac{w(x)}{\int_{-1}^{1} w(x) \, dx} = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}\)，此时满足 \(\int_{-1}^{1} \tilde{w}(x) \, dx = 1\)。
    • 归一化目的：简化权重计算。对于未归一化权函数，求积公式的权重和可能不等于积分区间的长度（本例中区间长度为2），但归一化后权重和恒为1。

  2. 节点与权重的封闭公式

    • 节点 \(x_k\) 是 \(T_n(x)\) 的根，即 \(x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right)\)，其中 \(k = 1, 2, \dots, n\)。
    • 权重公式分两种情况：
      • 未归一化权函数：权重为 \(w_k = \frac{\pi}{n}\)（所有权重相等）。
      • 归一化权函数：权重变为 \(\tilde{w}_k = \frac{1}{n}\)，因为原权重需除以归一化因子 \(\pi\)。
    • 推导依据：利用切比雪夫多项式的正交性，可验证当 \(f(x)\) 为次数小于 \(2n\) 的多项式时，公式精确成立。

  3. 以 n=3 为例的具体计算

    • 步骤1：求节点
      代入 \(n=3\) 到节点公式：

\[ x_1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \]

  • 步骤2：求权重
    • 若使用未归一化权函数：\(w_k = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472\)。
    • 若使用归一化权函数：\(\tilde{w}_k = \frac{1}{3} \approx 0.3333\)。
  • 步骤3：验证权重和
    • 未归一化情况：\(\sum w_k = \pi \approx 3.1416\)，等于 \(\int_{-1}^{1} w(x) \, dx\)。
    • 归一化情况：\(\sum \tilde{w}_k = 1\)，符合归一化要求。
  1. 归一化处理的实际应用意义
    • 在编程实现中，若直接使用未归一化权重，最终积分结果需注意乘以实际权函数的积分值（本例为 \(\pi\)）。
    • 归一化后公式更简洁，但需确保权函数已显式包含在积分定义中。例如，若原问题为 \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx\)，则需先变换为 \(\int_{-1}^{1} [f(x) \sqrt{1-x^2}] \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 才能应用此公式。

总结
高斯-切比雪夫公式的权函数归一化处理本质是通过缩放权重使其和为1，从而简化计算。实际应用中需根据积分问题的具体形式（是否显式包含权函数）选择适当的权重版本，以避免尺度错误。

高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理 题目描述 考虑带权积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，其中权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 在区间 \([ -1,1]\) 上定义。高斯-切比雪夫求积公式旨在用求和形式 \( I \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \) 近似该积分，要求节点 \( x_ k \) 和权重 \( w_ k \) 的选择使公式具有最高代数精度。本题重点分析权函数的归一化处理如何影响权重计算，并推导 n=3 时的具体节点和权重值。 解题过程 权函数与正交多项式的关系 高斯型求积公式的节点是权函数对应正交多项式的根。对于权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)，其对应的正交多项式是 第一类切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \)。 关键性质：\( T_ n(x) \) 在 \([ -1,1 ]\) 上关于权函数 \( w(x) \) 正交，即满足： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & \text{若 } m \neq n, \\ \pi & \text{若 } m = n = 0, \\ \pi/2 & \text{若 } m = n \geq 1. \end{cases} \] 注意：此处的正交性定义包含权函数 \( w(x) \)，但积分结果中的常数 \( \pi \) 或 \( \pi/2 \) 表明权函数本身未归一化（即 \( \int_ {-1}^{1} w(x) \, dx = \pi \neq 1 \)）。 权函数的归一化处理 若直接使用原权函数 \( w(x) \)，求积公式的权重需通过解线性方程组或利用正交多项式性质计算。但切比雪夫多项式的特殊性允许直接推导封闭解。 归一化权函数 定义为 \( \tilde{w}(x) = \frac{w(x)}{\int_ {-1}^{1} w(x) \, dx} = \frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}} \)，此时满足 \( \int_ {-1}^{1} \tilde{w}(x) \, dx = 1 \)。 归一化目的：简化权重计算。对于未归一化权函数，求积公式的权重和可能不等于积分区间的长度（本例中区间长度为2），但归一化后权重和恒为1。 节点与权重的封闭公式 节点 \( x_ k \) 是 \( T_ n(x) \) 的根，即 \( x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \)，其中 \( k = 1, 2, \dots, n \)。 权重公式分两种情况： 未归一化权函数 ：权重为 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)（所有权重相等）。 归一化权函数 ：权重变为 \( \tilde{w}_ k = \frac{1}{n} \)，因为原权重需除以归一化因子 \( \pi \)。 推导依据：利用切比雪夫多项式的正交性，可验证当 \( f(x) \) 为次数小于 \( 2n \) 的多项式时，公式精确成立。 以 n=3 为例的具体计算 步骤1：求节点 代入 \( n=3 \) 到节点公式： \[ x_ 1 = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x_ 2 = \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0, \quad x_ 3 = \cos\left( \frac{5\pi}{6} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. \] 步骤2：求权重 若使用未归一化权函数：\( w_ k = \frac{\pi}{3} \approx 1.0472 \)。 若使用归一化权函数：\( \tilde{w}_ k = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \)。 步骤3：验证权重和 未归一化情况：\( \sum w_ k = \pi \approx 3.1416 \)，等于 \( \int_ {-1}^{1} w(x) \, dx \)。 归一化情况：\( \sum \tilde{w}_ k = 1 \)，符合归一化要求。 归一化处理的实际应用意义 在编程实现中，若直接使用未归一化权重，最终积分结果需注意乘以实际权函数的积分值（本例为 \( \pi \)）。 归一化后公式更简洁，但需确保权函数已显式包含在积分定义中。例如，若原问题为 \( \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，则需先变换为 \( \int_ {-1}^{1} [ f(x) \sqrt{1-x^2} ] \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \) 才能应用此公式。 总结 高斯-切比雪夫公式的权函数归一化处理本质是通过缩放权重使其和为1，从而简化计算。实际应用中需根据积分问题的具体形式（是否显式包含权函数）选择适当的权重版本，以避免尺度错误。