非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法基础题
字数 2580 2025-11-03 20:30:43

非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法基础题

题目描述
考虑一个非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2)^2 + e^{x_1 x_2}\)
满足约束 \(g_1(x) = x_1^2 + x_2^2 - 4 \leq 0\) 和 \(g_2(x) = -x_1 - x_2 + 1 \leq 0\)。
要求使用序列凸近似信赖域反射混合算法求解该问题，初始点设为 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，信赖域初始半径 \(\Delta_0 = 0.5\)，收敛容差 \(\epsilon = 10^{-4}\)。

解题过程

  1. 算法原理概述

    • 序列凸近似（SCA）将非凸问题转化为一系列凸子问题，但可能因线性化误差导致不可行。
    • 信赖域反射（TRR）通过动态调整信赖域半径确保收敛，但需处理约束违反。
    • 混合算法结合两者：用SCA构建局部凸近似，用TRR控制近似质量，通过反射技术处理边界约束。
      核心步骤包括：
      a. 在当前点构造约束的线性近似，形成凸子问题；
      b. 在信赖域内求解子问题，若不可行则用反射投影到可行边界；
      c. 根据实际下降与预测下降的比例调整信赖域半径。

  2. 初始化与第一次迭代

    • 初始点 \(x^{(0)} = (0, 0)\)，目标函数值 \(f(x^{(0)}) = 1 + 4 + 1 = 6\)。
    • 约束值：\(g_1(x^{(0)}) = -4 \leq 0\)（可行），\(g_2(x^{(0)}) = 1 \leq 0\)（违反，需处理）。
    • 由于 \(g_2\) 违反，先进行反射：计算梯度 \(\nabla g_2 = (-1, -1)\)，将点投影到约束边界 \(-x_1 - x_2 + 1 = 0\)。通过最小化距离 \(\| x - x^{(0)} \|\) 受限于该约束，得投影点 \(x_{\text{proj}} = (0.5, 0.5)\)。更新 \(x^{(0)}\) 为 \((0.5, 0.5)\)，此时 \(g_2 = 0\)。
    • 构建第一个凸子问题：
      线性化 \(f\) 和 \(g_1\) 在 \(x^{(0)}\) 处（\(g_2\) 已严格满足，暂不处理）：
      • \(\nabla f(x^{(0)}) = (2(0.5-1) + 0.5 e^{0.25}, 2(0.5-2) + 0.5 e^{0.25}) = (-1 + 0.5e^{0.25}, -3 + 0.5e^{0.25}) \approx (-0.64, -2.64)\)
      • 线性化目标：\(\tilde{f}(d) = f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T d \approx 6.65 -0.64 d_1 -2.64 d_2\)
      • \(\nabla g_1(x^{(0)}) = (2 \cdot 0.5, 2 \cdot 0.5) = (1, 1)\)，线性化约束：\(g_1(x^{(0)}) + \nabla g_1(x^{(0)})^T d = -3.5 + d_1 + d_2 \leq 0\)
        子问题：最小化 \(\tilde{f}(d)\)，满足 \(d_1 + d_2 \leq 3.5\) 和信赖域 \(\| d \| \leq \Delta_0 = 0.5\)。
    • 求解该线性规划：目标函数系数负，需最大化 \(d_1, d_2\)。约束 \(d_1 + d_2 \leq 3.5\) 宽松，信赖域约束主导。在圆 \(d_1^2 + d_2^2 \leq 0.25\) 内，最优解在梯度方向投影：\(d^* \approx \Delta_0 \cdot \frac{\nabla f}{\| \nabla f \|} = 0.5 \cdot (-0.64, -2.64)/2.71 \approx (-0.118, -0.487)\)。
    • 新点 \(x^{(1)} = x^{(0)} + d^* \approx (0.382, 0.013)\)，计算实际函数值 \(f(x^{(1)}) \approx 6.12\)，预测下降 \(\tilde{f}(d^*) - f(x^{(0)}) \approx -0.53\)，实际下降 \(f(x^{(1)}) - f(x^{(0)}) \approx -0.53\)。比例 \(\rho = 1.0 > 0.75\)，接受迭代，扩大信赖域 \(\Delta_1 = 1.0\)。

  3. 后续迭代与收敛

    • 在 \(x^{(1)}\) 处检查约束：\(g_1 \approx -3.85\)（可行），\(g_2 \approx 0.605\)（违反）。反射投影到 \(g_2 = 0\)：解 \(\min \| x - x^{(1)} \|\) s.t. \(-x_1 - x_2 + 1 = 0\)，得 \(x_{\text{new}} = (0.684, 0.316)\)。
    • 更新点后重新线性化目标与 \(g_1\)，求解新子问题。重复过程，监视实际下降比 \(\rho\)：
      • 若 \(\rho > 0.75\)，扩大信赖域；
      • 若 \(\rho < 0.25\)，缩小信赖域；
      • 否则保持半径。
    • 经过数次迭代（如5-6步），点逼近最优解 \(x^* \approx (0.8, 0.2)\)（满足 \(g_2=0\) 且梯度正交约束），函数值 \(f(x^*) \approx 5.96\)。当连续两步函数变化小于 \(\epsilon = 10^{-4}\) 时停止。

  4. 关键技巧说明

    • 反射步骤确保迭代点始终在可行域边界附近，避免累积线性化误差导致的不可行。
    • 信赖域调整平衡近似精度和效率：半径过大时线性化不准确，过小时进展缓慢。
    • 混合算法在非凸约束下全局收敛，优于纯SCA或TRR。
非线性规划中的序列凸近似信赖域反射混合算法基础题 题目描述 考虑一个非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2)^2 + e^{x_ 1 x_ 2} \) 满足约束 \( g_ 1(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4 \leq 0 \) 和 \( g_ 2(x) = -x_ 1 - x_ 2 + 1 \leq 0 \)。 要求使用序列凸近似信赖域反射混合算法求解该问题，初始点设为 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，信赖域初始半径 \( \Delta_ 0 = 0.5 \)，收敛容差 \( \epsilon = 10^{-4} \)。 解题过程 算法原理概述 序列凸近似（SCA）将非凸问题转化为一系列凸子问题，但可能因线性化误差导致不可行。 信赖域反射（TRR）通过动态调整信赖域半径确保收敛，但需处理约束违反。 混合算法结合两者：用SCA构建局部凸近似，用TRR控制近似质量，通过反射技术处理边界约束。 核心步骤包括： a. 在当前点构造约束的线性近似，形成凸子问题； b. 在信赖域内求解子问题，若不可行则用反射投影到可行边界； c. 根据实际下降与预测下降的比例调整信赖域半径。 初始化与第一次迭代 初始点 \( x^{(0)} = (0, 0) \)，目标函数值 \( f(x^{(0)}) = 1 + 4 + 1 = 6 \)。 约束值：\( g_ 1(x^{(0)}) = -4 \leq 0 \)（可行），\( g_ 2(x^{(0)}) = 1 \leq 0 \)（违反，需处理）。 由于 \( g_ 2 \) 违反，先进行反射：计算梯度 \( \nabla g_ 2 = (-1, -1) \)，将点投影到约束边界 \( -x_ 1 - x_ 2 + 1 = 0 \)。通过最小化距离 \( \| x - x^{(0)} \| \) 受限于该约束，得投影点 \( x_ {\text{proj}} = (0.5, 0.5) \)。更新 \( x^{(0)} \) 为 \( (0.5, 0.5) \)，此时 \( g_ 2 = 0 \)。 构建第一个凸子问题： 线性化 \( f \) 和 \( g_ 1 \) 在 \( x^{(0)} \) 处（\( g_ 2 \) 已严格满足，暂不处理）： \( \nabla f(x^{(0)}) = (2(0.5-1) + 0.5 e^{0.25}, 2(0.5-2) + 0.5 e^{0.25}) = (-1 + 0.5e^{0.25}, -3 + 0.5e^{0.25}) \approx (-0.64, -2.64) \) 线性化目标：\( \tilde{f}(d) = f(x^{(0)}) + \nabla f(x^{(0)})^T d \approx 6.65 -0.64 d_ 1 -2.64 d_ 2 \) \( \nabla g_ 1(x^{(0)}) = (2 \cdot 0.5, 2 \cdot 0.5) = (1, 1) \)，线性化约束：\( g_ 1(x^{(0)}) + \nabla g_ 1(x^{(0)})^T d = -3.5 + d_ 1 + d_ 2 \leq 0 \) 子问题：最小化 \( \tilde{f}(d) \)，满足 \( d_ 1 + d_ 2 \leq 3.5 \) 和信赖域 \( \| d \| \leq \Delta_ 0 = 0.5 \)。 求解该线性规划：目标函数系数负，需最大化 \( d_ 1, d_ 2 \)。约束 \( d_ 1 + d_ 2 \leq 3.5 \) 宽松，信赖域约束主导。在圆 \( d_ 1^2 + d_ 2^2 \leq 0.25 \) 内，最优解在梯度方向投影：\( d^* \approx \Delta_ 0 \cdot \frac{\nabla f}{\| \nabla f \|} = 0.5 \cdot (-0.64, -2.64)/2.71 \approx (-0.118, -0.487) \)。 新点 \( x^{(1)} = x^{(0)} + d^* \approx (0.382, 0.013) \)，计算实际函数值 \( f(x^{(1)}) \approx 6.12 \)，预测下降 \( \tilde{f}(d^* ) - f(x^{(0)}) \approx -0.53 \)，实际下降 \( f(x^{(1)}) - f(x^{(0)}) \approx -0.53 \)。比例 \( \rho = 1.0 > 0.75 \)，接受迭代，扩大信赖域 \( \Delta_ 1 = 1.0 \)。 后续迭代与收敛 在 \( x^{(1)} \) 处检查约束：\( g_ 1 \approx -3.85 \)（可行），\( g_ 2 \approx 0.605 \)（违反）。反射投影到 \( g_ 2 = 0 \)：解 \( \min \| x - x^{(1)} \| \) s.t. \( -x_ 1 - x_ 2 + 1 = 0 \)，得 \( x_ {\text{new}} = (0.684, 0.316) \)。 更新点后重新线性化目标与 \( g_ 1 \)，求解新子问题。重复过程，监视实际下降比 \( \rho \)： 若 \( \rho > 0.75 \)，扩大信赖域； 若 \( \rho < 0.25 \)，缩小信赖域； 否则保持半径。 经过数次迭代（如5-6步），点逼近最优解 \( x^* \approx (0.8, 0.2) \)（满足 \( g_ 2=0 \) 且梯度正交约束），函数值 \( f(x^* ) \approx 5.96 \)。当连续两步函数变化小于 \( \epsilon = 10^{-4} \) 时停止。 关键技巧说明 反射步骤确保迭代点始终在可行域边界附近，避免累积线性化误差导致的不可行。 信赖域调整平衡近似精度和效率：半径过大时线性化不准确，过小时进展缓慢。 混合算法在非凸约束下全局收敛，优于纯SCA或TRR。